Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37147 / 45091
↖ ↑ ↗
← S 55.884555°
E 24.054566°		 ← 342.57 m → S 55.884555°
E 24.060059°		 →
↑
342.57 m
↓
↑
342.57 m
↓
S 55.887635°
E 24.054566°		 ← 342.54 m →
117 348 m²		 S 55.887635°
E 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45091 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566825866699219 y=0.688041687011719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566825866699219 × 216)
    floor (0.566825866699219 × 65536)
    floor (37147.5)     		tx = 37147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.688041687011719 × 216)
    floor (0.688041687011719 × 65536)
    floor (45091.5)     		ty = 45091
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37147 / 45091 ti = "16/37147/45091"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37147/45091.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37147 ÷ 216
    37147 ÷ 65536     		x = 0.566818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45091 ÷ 216
    45091 ÷ 65536     		y = 0.688034057617188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566818237304688 × 2 - 1) × π
    0.133636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41983137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.688034057617188 × 2 - 1) × π
    -0.376068115234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.1814528280359
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41983137} λ = 0.41983137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.1814528280359))-π/2
    2×atan(0.306832639565912)-π/2
    2×0.297713423489715-π/2
    0.59542684697943-1.57079632675     		φ = -0.97536948
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41983137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.054566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97536948 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.884555°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37147 KachelY 45091 0.41983137 -0.97536948 24.054566 -55.884555
    Oben rechts KachelX + 1 37148 KachelY 45091 0.41992724 -0.97536948 24.060059 -55.884555
    Unten links KachelX 37147 KachelY + 1 45092 0.41983137 -0.97542325 24.054566 -55.887635
    Unten rechts KachelX + 1 37148 KachelY + 1 45092 0.41992724 -0.97542325 24.060059 -55.887635
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97536948--0.97542325) × R
    5.3769999999953e-05 × 6371000     		dl = 342.568669999701m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97536948--0.97542325) × R
    5.3769999999953e-05 × 6371000     		dr = 342.568669999701m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41983137-0.41992724) × cos(-0.97536948) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.5608621959586 × 6371000     		do = 342.567769946849m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41983137-0.41992724) × cos(-0.97542325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.560817678471655 × 6371000     		du = 342.540579210271m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97536948)-sin(-0.97542325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.5608621959586-0.560817678471655)×R²
    abs(0.41992724-0.41983137)×4.4517486945006e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.4517486945006e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.4517486945006e-05×40589641000000     		ar = 117348.328016464m²