Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37147 / 28132
↖ ↑ ↗
← N 24.666986°
E 24.054566°		 ← 555.05 m → N 24.666986°
E 24.060059°		 →
↑
555.11 m
↓
↑
555.11 m
↓
N 24.661994°
E 24.054566°		 ← 555.07 m →
308 119 m²		 N 24.661994°
E 24.060059°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566825866699219 y=0.429267883300781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566825866699219 × 216)
    floor (0.566825866699219 × 65536)
    floor (37147.5)     		tx = 37147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429267883300781 × 216)
    floor (0.429267883300781 × 65536)
    floor (28132.5)     		ty = 28132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37147 / 28132 ti = "16/37147/28132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37147/28132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37147 ÷ 216
    37147 ÷ 65536     		x = 0.566818237304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28132 ÷ 216
    28132 ÷ 65536     		y = 0.42926025390625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566818237304688 × 2 - 1) × π
    0.133636474609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41983137
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.42926025390625 × 2 - 1) × π
    0.1414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.444470933277161
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41983137} λ = 0.41983137}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.444470933277161))-π/2
    2×atan(1.55966481075988)-π/2
    2×1.00065822787499-π/2
    2.00131645574999-1.57079632675     		φ = 0.43052013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41983137} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.054566°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.43052013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.666986°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37147 KachelY 28132 0.41983137 0.43052013 24.054566 24.666986
    Oben rechts KachelX + 1 37148 KachelY 28132 0.41992724 0.43052013 24.060059 24.666986
    Unten links KachelX 37147 KachelY + 1 28133 0.41983137 0.43043300 24.054566 24.661994
    Unten rechts KachelX + 1 37148 KachelY + 1 28133 0.41992724 0.43043300 24.060059 24.661994
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.43052013-0.43043300) × R
    8.71299999999908e-05 × 6371000     		dl = 555.105229999942m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.43052013-0.43043300) × R
    8.71299999999908e-05 × 6371000     		dr = 555.105229999942m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41983137-0.41992724) × cos(0.43052013) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908748799720574 × 6371000     		do = 555.052652871494m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41983137-0.41992724) × cos(0.43043300) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.908785159412535 × 6371000     		du = 555.074860926665m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.43052013)-sin(0.43043300))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.908748799720574-0.908785159412535)×R²
    abs(0.41992724-0.41983137)×3.63596919614739e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.63596919614739e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.63596919614739e-05×40589641000000     		ar = 308118.794633038m²