Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37146 / 103014
↖ ↑ ↗
← S 71.164712°
W 77.975464°		 ← 98.61 m → S 71.164712°
W 77.972717°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.165599°
W 77.975464°		 ← 98.60 m →
9 725 m²		 S 71.165599°
W 77.972717°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37146 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103014 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283405303955078 y=0.785938262939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283405303955078 × 217)
    floor (0.283405303955078 × 131072)
    floor (37146.5)     		tx = 37146
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785938262939453 × 217)
    floor (0.785938262939453 × 131072)
    floor (103014.5)     		ty = 103014
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37146 / 103014 ti = "17/37146/103014"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37146/103014.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37146 ÷ 217
    37146 ÷ 131072     		x = 0.283401489257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103014 ÷ 217
    103014 ÷ 131072     		y = 0.785934448242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283401489257812 × 2 - 1) × π
    -0.433197021484375 × 3.1415926535     		Λ = -1.36092858
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785934448242188 × 2 - 1) × π
    -0.571868896484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.79657912396046
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36092858} λ = -1.36092858}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79657912396046))-π/2
    2×atan(0.165865323527762)-π/2
    2×0.164368891025109-π/2
    0.328737782050217-1.57079632675     		φ = -1.24205854
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36092858} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.975464°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24205854 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.164712°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37146 KachelY 103014 -1.36092858 -1.24205854 -77.975464 -71.164712
    Oben rechts KachelX + 1 37147 KachelY 103014 -1.36088064 -1.24205854 -77.972717 -71.164712
    Unten links KachelX 37146 KachelY + 1 103015 -1.36092858 -1.24207402 -77.975464 -71.165599
    Unten rechts KachelX + 1 37147 KachelY + 1 103015 -1.36088064 -1.24207402 -77.972717 -71.165599
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24205854--1.24207402) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24205854--1.24207402) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36092858--1.36088064) × cos(-1.24205854) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322848663443597 × 6371000     		do = 98.606291940207m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36092858--1.36088064) × cos(-1.24207402) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322834012349609 × 6371000     		du = 98.6018171189839m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24205854)-sin(-1.24207402))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322848663443597-0.322834012349609)×R²
    abs(-1.36088064--1.36092858)×1.46510939882383e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46510939882383e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46510939882383e-05×40589641000000     		ar = 9724.63555853865m²