Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37145 / 30470
↖ ↑ ↗
← N 12.522391°
E 24.043579°		 ← 596.26 m → N 12.522391°
E 24.049072°		 →
↑
596.33 m
↓
↑
596.33 m
↓
N 12.517028°
E 24.043579°		 ← 596.27 m →
355 568 m²		 N 12.517028°
E 24.049072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30470 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566795349121094 y=0.464942932128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566795349121094 × 216)
    floor (0.566795349121094 × 65536)
    floor (37145.5)     		tx = 37145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464942932128906 × 216)
    floor (0.464942932128906 × 65536)
    floor (30470.5)     		ty = 30470
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37145 / 30470 ti = "16/37145/30470"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37145/30470.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37145 ÷ 216
    37145 ÷ 65536     		x = 0.566787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30470 ÷ 216
    30470 ÷ 65536     		y = 0.464935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566787719726562 × 2 - 1) × π
    0.133575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41963962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464935302734375 × 2 - 1) × π
    0.07012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.220317990653778
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41963962} λ = 0.41963962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220317990653778))-π/2
    2×atan(1.2464730343487)-π/2
    2×0.894676636507826-π/2
    1.78935327301565-1.57079632675     		φ = 0.21855695
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41963962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.043579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21855695 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.522391°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37145 KachelY 30470 0.41963962 0.21855695 24.043579 12.522391
    Oben rechts KachelX + 1 37146 KachelY 30470 0.41973549 0.21855695 24.049072 12.522391
    Unten links KachelX 37145 KachelY + 1 30471 0.41963962 0.21846335 24.043579 12.517028
    Unten rechts KachelX + 1 37146 KachelY + 1 30471 0.41973549 0.21846335 24.049072 12.517028
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21855695-0.21846335) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dl = 596.325599999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21855695-0.21846335) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dr = 596.325599999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41963962-0.41973549) × cos(0.21855695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976211349377916 × 6371000     		do = 596.257953135215m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41963962-0.41973549) × cos(0.21846335) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976231639559149 × 6371000     		du = 596.270346129763m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21855695)-sin(0.21846335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976211349377916-0.976231639559149)×R²
    abs(0.41973549-0.41963962)×2.02901812333955e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02901812333955e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02901812333955e-05×40589641000000     		ar = 355567.577047709m²