Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37145 / 30299
↖ ↑ ↗
← N 13.437709°
E 24.043579°		 ← 594.07 m → N 13.437709°
E 24.049072°		 →
↑
594.10 m
↓
↑
594.10 m
↓
N 13.432366°
E 24.043579°		 ← 594.08 m →
352 936 m²		 N 13.432366°
E 24.049072°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37145 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30299 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566795349121094 y=0.462333679199219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566795349121094 × 216)
    floor (0.566795349121094 × 65536)
    floor (37145.5)     		tx = 37145
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462333679199219 × 216)
    floor (0.462333679199219 × 65536)
    floor (30299.5)     		ty = 30299
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37145 / 30299 ti = "16/37145/30299"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37145/30299.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37145 ÷ 216
    37145 ÷ 65536     		x = 0.566787719726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30299 ÷ 216
    30299 ÷ 65536     		y = 0.462326049804688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566787719726562 × 2 - 1) × π
    0.133575439453125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41963962
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462326049804688 × 2 - 1) × π
    0.075347900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.236712410323837
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41963962} λ = 0.41963962}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.236712410323837))-π/2
    2×atan(1.26707666720329)-π/2
    2×0.902664299992804-π/2
    1.80532859998561-1.57079632675     		φ = 0.23453227
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41963962} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.043579°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23453227 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.437709°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37145 KachelY 30299 0.41963962 0.23453227 24.043579 13.437709
    Oben rechts KachelX + 1 37146 KachelY 30299 0.41973549 0.23453227 24.049072 13.437709
    Unten links KachelX 37145 KachelY + 1 30300 0.41963962 0.23443902 24.043579 13.432366
    Unten rechts KachelX + 1 37146 KachelY + 1 30300 0.41973549 0.23443902 24.049072 13.432366
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23453227-0.23443902) × R
    9.32499999999892e-05 × 6371000     		dl = 594.095749999931m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23453227-0.23443902) × R
    9.32499999999892e-05 × 6371000     		dr = 594.095749999931m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41963962-0.41973549) × cos(0.23453227) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972623142599149 × 6371000     		do = 594.066320318513m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41963962-0.41973549) × cos(0.23443902) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972644808559377 × 6371000     		du = 594.079553622046m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23453227)-sin(0.23443902))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972623142599149-0.972644808559377)×R²
    abs(0.41973549-0.41963962)×2.16659602285674e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.16659602285674e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.16659602285674e-05×40589641000000     		ar = 352936.207299707m²