Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37143 / 102729
↖ ↑ ↗
← S 70.910355°
W 77.983704°		 ← 99.89 m → S 70.910355°
W 77.980957°		 →
↑
99.83 m
↓
↑
99.83 m
↓
S 70.911252°
W 77.983704°		 ← 99.88 m →
9 972 m²		 S 70.911252°
W 77.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102729 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283382415771484 y=0.783763885498047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283382415771484 × 217)
    floor (0.283382415771484 × 131072)
    floor (37143.5)     		tx = 37143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783763885498047 × 217)
    floor (0.783763885498047 × 131072)
    floor (102729.5)     		ty = 102729
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37143 / 102729 ti = "17/37143/102729"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37143/102729.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37143 ÷ 217
    37143 ÷ 131072     		x = 0.283378601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102729 ÷ 217
    102729 ÷ 131072     		y = 0.783760070800781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283378601074219 × 2 - 1) × π
    -0.433242797851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.36107239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783760070800781 × 2 - 1) × π
    -0.567520141601562 × 3.1415926535     		Φ = -1.78291710756875
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36107239} λ = -1.36107239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78291710756875))-π/2
    2×atan(0.168146928470192)-π/2
    2×0.166588585507931-π/2
    0.333177171015862-1.57079632675     		φ = -1.23761916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36107239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.983704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23761916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.910355°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37143 KachelY 102729 -1.36107239 -1.23761916 -77.983704 -70.910355
    Oben rechts KachelX + 1 37144 KachelY 102729 -1.36102445 -1.23761916 -77.980957 -70.910355
    Unten links KachelX 37143 KachelY + 1 102730 -1.36107239 -1.23763483 -77.983704 -70.911252
    Unten rechts KachelX + 1 37144 KachelY + 1 102730 -1.36102445 -1.23763483 -77.980957 -70.911252
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23761916--1.23763483) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dl = 99.8335700001476m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23761916--1.23763483) × R
    1.56700000000232e-05 × 6371000     		dr = 99.8335700001476m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36107239--1.36102445) × cos(-1.23761916) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327047122151664 × 6371000     		do = 99.888609297977m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36107239--1.36102445) × cos(-1.23763483) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327032313835656 × 6371000     		du = 99.8840864571019m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23761916)-sin(-1.23763483))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327047122151664-0.327032313835656)×R²
    abs(-1.36102445--1.36107239)×1.48083160084744e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48083160084744e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48083160084744e-05×40589641000000     		ar = 9972.01070297374m²