Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37143 / 102727
↖ ↑ ↗
← S 70.908558°
W 77.983704°		 ← 99.90 m → S 70.908558°
W 77.980957°		 →
↑
99.90 m
↓
↑
99.90 m
↓
S 70.909456°
W 77.983704°		 ← 99.89 m →
9 979 m²		 S 70.909456°
W 77.980957°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37143 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102727 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283382415771484 y=0.783748626708984 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283382415771484 × 217)
    floor (0.283382415771484 × 131072)
    floor (37143.5)     		tx = 37143
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783748626708984 × 217)
    floor (0.783748626708984 × 131072)
    floor (102727.5)     		ty = 102727
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37143 / 102727 ti = "17/37143/102727"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37143/102727.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37143 ÷ 217
    37143 ÷ 131072     		x = 0.283378601074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102727 ÷ 217
    102727 ÷ 131072     		y = 0.783744812011719
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283378601074219 × 2 - 1) × π
    -0.433242797851562 × 3.1415926535     		Λ = -1.36107239
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783744812011719 × 2 - 1) × π
    -0.567489624023438 × 3.1415926535     		Φ = -1.78282123376951
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36107239} λ = -1.36107239}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.78282123376951))-π/2
    2×atan(0.168163050127865)-π/2
    2×0.166604263843415-π/2
    0.33320852768683-1.57079632675     		φ = -1.23758780
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36107239} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.983704°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23758780 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.908558°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37143 KachelY 102727 -1.36107239 -1.23758780 -77.983704 -70.908558
    Oben rechts KachelX + 1 37144 KachelY 102727 -1.36102445 -1.23758780 -77.980957 -70.908558
    Unten links KachelX 37143 KachelY + 1 102728 -1.36107239 -1.23760348 -77.983704 -70.909456
    Unten rechts KachelX + 1 37144 KachelY + 1 102728 -1.36102445 -1.23760348 -77.980957 -70.909456
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23758780--1.23760348) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dl = 99.8972799997604m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23758780--1.23760348) × R
    1.56799999999624e-05 × 6371000     		dr = 99.8972799997604m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36107239--1.36102445) × cos(-1.23758780) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327076757442715 × 6371000     		do = 99.8976606786762m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36107239--1.36102445) × cos(-1.23760348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.327061939837396 × 6371000     		du = 99.8931350006066m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23758780)-sin(-1.23760348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.327076757442715-0.327061939837396)×R²
    abs(-1.36102445--1.36107239)×1.4817605319184e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.4817605319184e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.4817605319184e-05×40589641000000     		ar = 9979.27852886071m²