Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37142 / 102974
↖ ↑ ↗
← S 71.129211°
W 77.986450°		 ← 98.79 m → S 71.129211°
W 77.983704°		 →
↑
98.75 m
↓
↑
98.75 m
↓
S 71.130099°
W 77.986450°		 ← 98.78 m →
9 755 m²		 S 71.130099°
W 77.983704°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37142 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102974 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283374786376953 y=0.785633087158203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283374786376953 × 217)
    floor (0.283374786376953 × 131072)
    floor (37142.5)     		tx = 37142
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785633087158203 × 217)
    floor (0.785633087158203 × 131072)
    floor (102974.5)     		ty = 102974
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37142 / 102974 ti = "17/37142/102974"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37142/102974.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37142 ÷ 217
    37142 ÷ 131072     		x = 0.283370971679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102974 ÷ 217
    102974 ÷ 131072     		y = 0.785629272460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283370971679688 × 2 - 1) × π
    -0.433258056640625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36112033
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785629272460938 × 2 - 1) × π
    -0.571258544921875 × 3.1415926535     		Φ = -1.79466164797566
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36112033} λ = -1.36112033}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79466164797566))-π/2
    2×atan(0.166183671417014)-π/2
    2×0.164678699314886-π/2
    0.329357398629772-1.57079632675     		φ = -1.24143893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36112033} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.986450°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24143893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.129211°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37142 KachelY 102974 -1.36112033 -1.24143893 -77.986450 -71.129211
    Oben rechts KachelX + 1 37143 KachelY 102974 -1.36107239 -1.24143893 -77.983704 -71.129211
    Unten links KachelX 37142 KachelY + 1 102975 -1.36112033 -1.24145443 -77.986450 -71.130099
    Unten rechts KachelX + 1 37143 KachelY + 1 102975 -1.36107239 -1.24145443 -77.983704 -71.130099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24143893--1.24145443) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dl = 98.7505000010713m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24143893--1.24145443) × R
    1.55000000001682e-05 × 6371000     		dr = 98.7505000010713m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36112033--1.36107239) × cos(-1.24143893) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.323435031689613 × 6371000     		do = 98.7853838961163m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36112033--1.36107239) × cos(-1.24145443) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.323420364769882 × 6371000     		du = 98.7809042413039m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24143893)-sin(-1.24145443))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323435031689613-0.323420364769882)×R²
    abs(-1.36107239--1.36112033)×1.46669197309546e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46669197309546e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46669197309546e-05×40589641000000     		ar = 9754.88486855322m²