Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37141 / 45073
↖ ↑ ↗
← S 55.829059°
E 24.021606°		 ← 343.09 m → S 55.829059°
E 24.027100°		 →
↑
343.08 m
↓
↑
343.08 m
↓
S 55.832144°
E 24.021606°		 ← 343.07 m →
117 703 m²		 S 55.832144°
E 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 45073 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566734313964844 y=0.687767028808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566734313964844 × 216)
    floor (0.566734313964844 × 65536)
    floor (37141.5)     		tx = 37141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.687767028808594 × 216)
    floor (0.687767028808594 × 65536)
    floor (45073.5)     		ty = 45073
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37141 / 45073 ti = "16/37141/45073"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37141/45073.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37141 ÷ 216
    37141 ÷ 65536     		x = 0.566726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 45073 ÷ 216
    45073 ÷ 65536     		y = 0.687759399414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566726684570312 × 2 - 1) × π
    0.133453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41925612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.687759399414062 × 2 - 1) × π
    -0.375518798828125 × 3.1415926535     		Φ = -1.17972709964958
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41925612} λ = 0.41925612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.17972709964958))-π/2
    2×atan(0.307362606519843)-π/2
    2×0.298197717204452-π/2
    0.596395434408904-1.57079632675     		φ = -0.97440089
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41925612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.97440089 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -55.829059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37141 KachelY 45073 0.41925612 -0.97440089 24.021606 -55.829059
    Oben rechts KachelX + 1 37142 KachelY 45073 0.41935200 -0.97440089 24.027100 -55.829059
    Unten links KachelX 37141 KachelY + 1 45074 0.41925612 -0.97445474 24.021606 -55.832144
    Unten rechts KachelX + 1 37142 KachelY + 1 45074 0.41935200 -0.97445474 24.027100 -55.832144
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.97440089--0.97445474) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dl = 343.07835000014m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.97440089--0.97445474) × R
    5.38500000000219e-05 × 6371000     		dr = 343.07835000014m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(-0.97440089) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.561663837287091 × 6371000     		do = 343.093186269273m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(-0.97445474) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.561619282838515 × 6371000     		du = 343.065970118419m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.97440089)-sin(-0.97445474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.561663837287091-0.561619282838515)×R²
    abs(0.41935200-0.41925612)×4.45544485759841e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.45544485759841e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.45544485759841e-05×40589641000000     		ar = 117703.175634305m²