Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37141 / 38441
↖ ↑ ↗
← S 29.730993°
E 24.021606°		 ← 530.44 m → S 29.730993°
E 24.027100°		 →
↑
530.39 m
↓
↑
530.39 m
↓
S 29.735762°
E 24.021606°		 ← 530.42 m →
281 332 m²		 S 29.735762°
E 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38441 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566734313964844 y=0.586570739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566734313964844 × 216)
    floor (0.566734313964844 × 65536)
    floor (37141.5)     		tx = 37141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.586570739746094 × 216)
    floor (0.586570739746094 × 65536)
    floor (38441.5)     		ty = 38441
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37141 / 38441 ti = "16/37141/38441"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37141/38441.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37141 ÷ 216
    37141 ÷ 65536     		x = 0.566726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38441 ÷ 216
    38441 ÷ 65536     		y = 0.586563110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566726684570312 × 2 - 1) × π
    0.133453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41925612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.586563110351562 × 2 - 1) × π
    -0.173126220703125 × 3.1415926535     		Φ = -0.543892063089157
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41925612} λ = 0.41925612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.543892063089157))-π/2
    2×atan(0.580484567470437)-π/2
    2×0.525946308939649-π/2
    1.0518926178793-1.57079632675     		φ = -0.51890371
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41925612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.51890371 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -29.730993°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37141 KachelY 38441 0.41925612 -0.51890371 24.021606 -29.730993
    Oben rechts KachelX + 1 37142 KachelY 38441 0.41935200 -0.51890371 24.027100 -29.730993
    Unten links KachelX 37141 KachelY + 1 38442 0.41925612 -0.51898696 24.021606 -29.735762
    Unten rechts KachelX + 1 37142 KachelY + 1 38442 0.41935200 -0.51898696 24.027100 -29.735762
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.51890371--0.51898696) × R
    8.32499999999792e-05 × 6371000     		dl = 530.385749999867m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.51890371--0.51898696) × R
    8.32499999999792e-05 × 6371000     		dr = 530.385749999867m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(-0.51890371) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8683633827999 × 6371000     		do = 530.441057561085m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(-0.51898696) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.868322093746699 × 6371000     		du = 530.415836081829m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.51890371)-sin(-0.51898696))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.8683633827999-0.868322093746699)×R²
    abs(0.41935200-0.41925612)×4.1289053200666e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.1289053200666e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.1289053200666e-05×40589641000000     		ar = 281331.68975112m²