Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37141 / 28177
↖ ↑ ↗
← N 24.442149°
E 24.021606°		 ← 556.11 m → N 24.442149°
E 24.027100°		 →
↑
556.06 m
↓
↑
556.06 m
↓
N 24.437148°
E 24.021606°		 ← 556.13 m →
309 235 m²		 N 24.437148°
E 24.027100°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566734313964844 y=0.429954528808594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566734313964844 × 216)
    floor (0.566734313964844 × 65536)
    floor (37141.5)     		tx = 37141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429954528808594 × 216)
    floor (0.429954528808594 × 65536)
    floor (28177.5)     		ty = 28177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37141 / 28177 ti = "16/37141/28177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37141/28177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37141 ÷ 216
    37141 ÷ 65536     		x = 0.566726684570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28177 ÷ 216
    28177 ÷ 65536     		y = 0.429946899414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566726684570312 × 2 - 1) × π
    0.133453369140625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41925612
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429946899414062 × 2 - 1) × π
    0.140106201171875 × 3.1415926535     		Φ = 0.440156612311356
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41925612} λ = 0.41925612}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.440156612311356))-π/2
    2×atan(1.55295041062063)-π/2
    2×0.998696150019906-π/2
    1.99739230003981-1.57079632675     		φ = 0.42659597
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41925612} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.021606°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42659597 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.442149°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37141 KachelY 28177 0.41925612 0.42659597 24.021606 24.442149
    Oben rechts KachelX + 1 37142 KachelY 28177 0.41935200 0.42659597 24.027100 24.442149
    Unten links KachelX 37141 KachelY + 1 28178 0.41925612 0.42650869 24.021606 24.437148
    Unten rechts KachelX + 1 37142 KachelY + 1 28178 0.41935200 0.42650869 24.027100 24.437148
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42659597-0.42650869) × R
    8.72799999999674e-05 × 6371000     		dl = 556.060879999792m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42659597-0.42650869) × R
    8.72799999999674e-05 × 6371000     		dr = 556.060879999792m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(0.42659597) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910379521372998 × 6371000     		do = 556.106677992345m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41925612-0.41935200) × cos(0.42650869) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.910415632121643 × 6371000     		du = 556.128736296599m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42659597)-sin(0.42650869))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910379521372998-0.910415632121643)×R²
    abs(0.41935200-0.41925612)×3.61107486446244e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.61107486446244e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.61107486446244e-05×40589641000000     		ar = 309235.301814611m²