Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37141 / 102975
↖ ↑ ↗
← S 71.130099°
W 77.989197°		 ← 98.76 m → S 71.130099°
W 77.986450°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.130988°
W 77.989197°		 ← 98.76 m →
9 759 m²		 S 71.130988°
W 77.986450°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37141 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102975 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283367156982422 y=0.785640716552734 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283367156982422 × 217)
    floor (0.283367156982422 × 131072)
    floor (37141.5)     		tx = 37141
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785640716552734 × 217)
    floor (0.785640716552734 × 131072)
    floor (102975.5)     		ty = 102975
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37141 / 102975 ti = "17/37141/102975"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37141/102975.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37141 ÷ 217
    37141 ÷ 131072     		x = 0.283363342285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102975 ÷ 217
    102975 ÷ 131072     		y = 0.785636901855469
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283363342285156 × 2 - 1) × π
    -0.433273315429688 × 3.1415926535     		Λ = -1.36116826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785636901855469 × 2 - 1) × π
    -0.571273803710938 × 3.1415926535     		Φ = -1.79470958487528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36116826} λ = -1.36116826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79470958487528))-π/2
    2×atan(0.166175705277977)-π/2
    2×0.16467094725434-π/2
    0.32934189450868-1.57079632675     		φ = -1.24145443
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36116826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -77.989197°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24145443 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.130099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37141 KachelY 102975 -1.36116826 -1.24145443 -77.989197 -71.130099
    Oben rechts KachelX + 1 37142 KachelY 102975 -1.36112033 -1.24145443 -77.986450 -71.130099
    Unten links KachelX 37141 KachelY + 1 102976 -1.36116826 -1.24146994 -77.989197 -71.130988
    Unten rechts KachelX + 1 37142 KachelY + 1 102976 -1.36112033 -1.24146994 -77.986450 -71.130988
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24145443--1.24146994) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24145443--1.24146994) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36116826--1.36112033) × cos(-1.24145443) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.323420364769882 × 6371000     		do = 98.7602991290746m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36116826--1.36112033) × cos(-1.24146994) × R
    4.79299999998073e-05 × 0.323405688309846 × 6371000     		du = 98.7558174954446m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24145443)-sin(-1.24146994))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323420364769882-0.323405688309846)×R²
    abs(-1.36112033--1.36116826)×1.46764600365001e-05×R²
    4.79299999998073e-05×1.46764600365001e-05×6371000²
    4.79299999998073e-05×1.46764600365001e-05×40589641000000     		ar = 9758.69951350204m²