Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37140 / 30474
↖ ↑ ↗
← N 12.500940°
E 24.016113°		 ← 596.31 m → N 12.500940°
E 24.021606°		 →
↑
596.33 m
↓
↑
596.33 m
↓
N 12.495577°
E 24.016113°		 ← 596.32 m →
355 597 m²		 N 12.495577°
E 24.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30474 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566719055175781 y=0.465003967285156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566719055175781 × 216)
    floor (0.566719055175781 × 65536)
    floor (37140.5)     		tx = 37140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.465003967285156 × 216)
    floor (0.465003967285156 × 65536)
    floor (30474.5)     		ty = 30474
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37140 / 30474 ti = "16/37140/30474"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37140/30474.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37140 ÷ 216
    37140 ÷ 65536     		x = 0.56671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30474 ÷ 216
    30474 ÷ 65536     		y = 0.464996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56671142578125 × 2 - 1) × π
    0.1334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41916025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464996337890625 × 2 - 1) × π
    0.07000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 0.219934495456818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41916025} λ = 0.41916025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.219934495456818))-π/2
    2×atan(1.24599510957368)-π/2
    2×0.894489442547721-π/2
    1.78897888509544-1.57079632675     		φ = 0.21818256
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41916025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21818256 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.500940°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37140 KachelY 30474 0.41916025 0.21818256 24.016113 12.500940
    Oben rechts KachelX + 1 37141 KachelY 30474 0.41925612 0.21818256 24.021606 12.500940
    Unten links KachelX 37140 KachelY + 1 30475 0.41916025 0.21808896 24.016113 12.495577
    Unten rechts KachelX + 1 37141 KachelY + 1 30475 0.41925612 0.21808896 24.021606 12.495577
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21818256-0.21808896) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dl = 596.325599999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21818256-0.21808896) × R
    9.35999999999992e-05 × 6371000     		dr = 596.325599999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41916025-0.41925612) × cos(0.21818256) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976292456621225 × 6371000     		do = 596.307492447486m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41916025-0.41925612) × cos(0.21808896) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976312712591401 × 6371000     		du = 596.319864546339m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21818256)-sin(0.21808896))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976292456621225-0.976312712591401)×R²
    abs(0.41925612-0.41916025)×2.02559701760752e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02559701760752e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02559701760752e-05×40589641000000     		ar = 355597.112377428m²