Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37140 / 28197
↖ ↑ ↗
← N 24.342092°
E 24.016113°		 ← 556.49 m → N 24.342092°
E 24.021606°		 →
↑
556.51 m
↓
↑
556.51 m
↓
N 24.337087°
E 24.016113°		 ← 556.51 m →
309 696 m²		 N 24.337087°
E 24.021606°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37140 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566719055175781 y=0.430259704589844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566719055175781 × 216)
    floor (0.566719055175781 × 65536)
    floor (37140.5)     		tx = 37140
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430259704589844 × 216)
    floor (0.430259704589844 × 65536)
    floor (28197.5)     		ty = 28197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37140 / 28197 ti = "16/37140/28197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37140/28197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37140 ÷ 216
    37140 ÷ 65536     		x = 0.56671142578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28197 ÷ 216
    28197 ÷ 65536     		y = 0.430252075195312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.56671142578125 × 2 - 1) × π
    0.1334228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41916025
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430252075195312 × 2 - 1) × π
    0.139495849609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438239136326553
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41916025} λ = 0.41916025}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438239136326553))-π/2
    2×atan(1.5499755185562)-π/2
    2×0.99782298869184-π/2
    1.99564597738368-1.57079632675     		φ = 0.42484965
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41916025} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.016113°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42484965 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.342092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37140 KachelY 28197 0.41916025 0.42484965 24.016113 24.342092
    Oben rechts KachelX + 1 37141 KachelY 28197 0.41925612 0.42484965 24.021606 24.342092
    Unten links KachelX 37140 KachelY + 1 28198 0.41916025 0.42476230 24.016113 24.337087
    Unten rechts KachelX + 1 37141 KachelY + 1 28198 0.41925612 0.42476230 24.021606 24.337087
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42484965-0.42476230) × R
    8.73500000000416e-05 × 6371000     		dl = 556.506850000265m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42484965-0.42476230) × R
    8.73500000000416e-05 × 6371000     		dr = 556.506850000265m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41916025-0.41925612) × cos(0.42484965) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911100715086264 × 6371000     		do = 556.489174012932m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41916025-0.41925612) × cos(0.42476230) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.911136715865499 × 6371000     		du = 556.5111628486m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42484965)-sin(0.42476230))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911100715086264-0.911136715865499)×R²
    abs(0.41925612-0.41916025)×3.60007792352679e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.60007792352679e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.60007792352679e-05×40589641000000     		ar = 309696.155955071m²