Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3714 / 3679
↖ ↑ ↗
← S 80.632740°
E146.425781°		 ← 1 590.67 m → S 80.632740°
E146.513672°		 →
↑
1 589.50 m
↓
↑
1 589.50 m
↓
S 80.647035°
E146.425781°		 ← 1 588.27 m →
2 526 463 m²		 S 80.647035°
E146.513672°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3714 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3679 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9068603515625 y=0.8983154296875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9068603515625 × 212)
    floor (0.9068603515625 × 4096)
    floor (3714.5)     		tx = 3714
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8983154296875 × 212)
    floor (0.8983154296875 × 4096)
    floor (3679.5)     		ty = 3679
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3714 / 3679 ti = "12/3714/3679"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3714/3679.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3714 ÷ 212
    3714 ÷ 4096     		x = 0.90673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3679 ÷ 212
    3679 ÷ 4096     		y = 0.898193359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90673828125 × 2 - 1) × π
    0.8134765625 × 3.1415926535     		Λ = 2.55561199
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.898193359375 × 2 - 1) × π
    -0.79638671875 × 3.1415926535     		Φ = -2.50192266496997
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55561199} λ = 2.55561199}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.50192266496997))-π/2
    2×atan(0.0819273282946648)-π/2
    2×0.0817447618519972-π/2
    0.163489523703994-1.57079632675     		φ = -1.40730680
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55561199} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.425781°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40730680 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.632740°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3714 KachelY 3679 2.55561199 -1.40730680 146.425781 -80.632740
    Oben rechts KachelX + 1 3715 KachelY 3679 2.55714597 -1.40730680 146.513672 -80.632740
    Unten links KachelX 3714 KachelY + 1 3680 2.55561199 -1.40755629 146.425781 -80.647035
    Unten rechts KachelX + 1 3715 KachelY + 1 3680 2.55714597 -1.40755629 146.513672 -80.647035
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40730680--1.40755629) × R
    0.000249490000000074 × 6371000     		dl = 1589.50079000047m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40730680--1.40755629) × R
    0.000249490000000074 × 6371000     		dr = 1589.50079000047m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55561199-2.55714597) × cos(-1.40730680) × R
    0.00153398000000005 × 0.162762185689055 × 6371000     		do = 1590.67265647065m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55561199-2.55714597) × cos(-1.40755629) × R
    0.00153398000000005 × 0.162516017493157 × 6371000     		du = 1588.26685799572m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40730680)-sin(-1.40755629))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.162762185689055-0.162516017493157)×R²
    abs(2.55714597-2.55561199)×0.0002461681958974×R²
    0.00153398000000005×0.0002461681958974×6371000²
    0.00153398000000005×0.0002461681958974×40589641000000     		ar = 2526463.44791297m²