Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37138 / 26671
↖ ↑ ↗
← N 31.732839°
E 24.005127°		 ← 519.54 m → N 31.732839°
E 24.010620°		 →
↑
519.56 m
↓
↑
519.56 m
↓
N 31.728167°
E 24.005127°		 ← 519.56 m →
269 934 m²		 N 31.728167°
E 24.010620°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37138 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 26671 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566688537597656 y=0.406974792480469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566688537597656 × 216)
    floor (0.566688537597656 × 65536)
    floor (37138.5)     		tx = 37138
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.406974792480469 × 216)
    floor (0.406974792480469 × 65536)
    floor (26671.5)     		ty = 26671
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37138 / 26671 ti = "16/37138/26671"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37138/26671.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37138 ÷ 216
    37138 ÷ 65536     		x = 0.566680908203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 26671 ÷ 216
    26671 ÷ 65536     		y = 0.406967163085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566680908203125 × 2 - 1) × π
    0.13336181640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41896850
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.406967163085938 × 2 - 1) × π
    0.186065673828125 × 3.1415926535     		Φ = 0.584542553966965
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41896850} λ = 0.41896850}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.584542553966965))-π/2
    2×atan(1.79417006191265)-π/2
    2×1.06231942638149-π/2
    2.12463885276298-1.57079632675     		φ = 0.55384253
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41896850} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 24.005127°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.55384253 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 31.732839°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37138 KachelY 26671 0.41896850 0.55384253 24.005127 31.732839
    Oben rechts KachelX + 1 37139 KachelY 26671 0.41906438 0.55384253 24.010620 31.732839
    Unten links KachelX 37138 KachelY + 1 26672 0.41896850 0.55376098 24.005127 31.728167
    Unten rechts KachelX + 1 37139 KachelY + 1 26672 0.41906438 0.55376098 24.010620 31.728167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.55384253-0.55376098) × R
    8.15500000000968e-05 × 6371000     		dl = 519.555050000617m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.55384253-0.55376098) × R
    8.15500000000968e-05 × 6371000     		dr = 519.555050000617m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41896850-0.41906438) × cos(0.55384253) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850509791873944 × 6371000     		do = 519.535165120651m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41896850-0.41906438) × cos(0.55376098) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.850552681019615 × 6371000     		du = 519.56136401876m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.55384253)-sin(0.55376098))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.850509791873944-0.850552681019615)×R²
    abs(0.41906438-0.41896850)×4.28891456709657e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.28891456709657e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.28891456709657e-05×40589641000000     		ar = 269933.924725799m²