Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37137 / 30461
↖ ↑ ↗
← N 12.570649°
E 23.999634°		 ← 596.15 m → N 12.570649°
E 24.005127°		 →
↑
596.20 m
↓
↑
596.20 m
↓
N 12.565287°
E 23.999634°		 ← 596.16 m →
355 425 m²		 N 12.565287°
E 24.005127°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37137 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30461 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566673278808594 y=0.464805603027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566673278808594 × 216)
    floor (0.566673278808594 × 65536)
    floor (37137.5)     		tx = 37137
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464805603027344 × 216)
    floor (0.464805603027344 × 65536)
    floor (30461.5)     		ty = 30461
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37137 / 30461 ti = "16/37137/30461"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37137/30461.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37137 ÷ 216
    37137 ÷ 65536     		x = 0.566665649414062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30461 ÷ 216
    30461 ÷ 65536     		y = 0.464797973632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566665649414062 × 2 - 1) × π
    0.133331298828125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41887263
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464797973632812 × 2 - 1) × π
    0.070404052734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.221180854846939
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41887263} λ = 0.41887263}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.221180854846939))-π/2
    2×atan(1.24754903545244)-π/2
    2×0.895097765972357-π/2
    1.79019553194471-1.57079632675     		φ = 0.21939921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41887263} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.999634°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21939921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.570649°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37137 KachelY 30461 0.41887263 0.21939921 23.999634 12.570649
    Oben rechts KachelX + 1 37138 KachelY 30461 0.41896850 0.21939921 24.005127 12.570649
    Unten links KachelX 37137 KachelY + 1 30462 0.41887263 0.21930563 23.999634 12.565287
    Unten rechts KachelX + 1 37138 KachelY + 1 30462 0.41896850 0.21930563 24.005127 12.565287
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21939921-0.21930563) × R
    9.35800000000098e-05 × 6371000     		dl = 596.198180000062m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21939921-0.21930563) × R
    9.35800000000098e-05 × 6371000     		dr = 596.198180000062m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41887263-0.41896850) × cos(0.21939921) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976028383373553 × 6371000     		do = 596.146199737425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41887263-0.41896850) × cos(0.21930563) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976048746157487 × 6371000     		du = 596.158637076815m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21939921)-sin(0.21930563))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976028383373553-0.976048746157487)×R²
    abs(0.41896850-0.41887263)×2.03627839336917e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.03627839336917e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.03627839336917e-05×40589641000000     		ar = 355424.987116313m²