Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37136 / 30448
↖ ↑ ↗
← N 12.640338°
E 23.994141°		 ← 595.98 m → N 12.640338°
E 23.999634°		 →
↑
596.01 m
↓
↑
596.01 m
↓
N 12.634978°
E 23.994141°		 ← 596 m →
355 214 m²		 N 12.634978°
E 23.999634°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37136 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30448 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566658020019531 y=0.464607238769531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566658020019531 × 216)
    floor (0.566658020019531 × 65536)
    floor (37136.5)     		tx = 37136
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464607238769531 × 216)
    floor (0.464607238769531 × 65536)
    floor (30448.5)     		ty = 30448
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37136 / 30448 ti = "16/37136/30448"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37136/30448.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37136 ÷ 216
    37136 ÷ 65536     		x = 0.566650390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30448 ÷ 216
    30448 ÷ 65536     		y = 0.464599609375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566650390625 × 2 - 1) × π
    0.13330078125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41877676
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464599609375 × 2 - 1) × π
    0.07080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.222427214237061
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41877676} λ = 0.41877676}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.222427214237061))-π/2
    2×atan(1.24910489928875)-π/2
    2×0.895705924404568-π/2
    1.79141184880914-1.57079632675     		φ = 0.22061552
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41877676} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.994141°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22061552 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.640338°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37136 KachelY 30448 0.41877676 0.22061552 23.994141 12.640338
    Oben rechts KachelX + 1 37137 KachelY 30448 0.41887263 0.22061552 23.999634 12.640338
    Unten links KachelX 37136 KachelY + 1 30449 0.41877676 0.22052197 23.994141 12.634978
    Unten rechts KachelX + 1 37137 KachelY + 1 30449 0.41887263 0.22052197 23.999634 12.634978
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22061552-0.22052197) × R
    9.35499999999978e-05 × 6371000     		dl = 596.007049999986m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22061552-0.22052197) × R
    9.35499999999978e-05 × 6371000     		dr = 596.007049999986m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41877676-0.41887263) × cos(0.22061552) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975762939774864 × 6371000     		do = 595.984070033721m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41877676-0.41887263) × cos(0.22052197) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975783407076483 × 6371000     		du = 595.996571211234m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22061552)-sin(0.22052197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975762939774864-0.975783407076483)×R²
    abs(0.41887263-0.41877676)×2.04673016191981e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.04673016191981e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.04673016191981e-05×40589641000000     		ar = 355214.433081851m²