Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37135 / 28198
↖ ↑ ↗
← N 24.337087°
E 23.988647°		 ← 556.57 m → N 24.337087°
E 23.994141°		 →
↑
556.57 m
↓
↑
556.57 m
↓
N 24.332082°
E 23.988647°		 ← 556.59 m →
309 776 m²		 N 24.332082°
E 23.994141°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28198 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566642761230469 y=0.430274963378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566642761230469 × 216)
    floor (0.566642761230469 × 65536)
    floor (37135.5)     		tx = 37135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430274963378906 × 216)
    floor (0.430274963378906 × 65536)
    floor (28198.5)     		ty = 28198
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37135 / 28198 ti = "16/37135/28198"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37135/28198.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37135 ÷ 216
    37135 ÷ 65536     		x = 0.566635131835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28198 ÷ 216
    28198 ÷ 65536     		y = 0.430267333984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566635131835938 × 2 - 1) × π
    0.133270263671875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41868088
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430267333984375 × 2 - 1) × π
    0.13946533203125 × 3.1415926535     		Φ = 0.438143262527313
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41868088} λ = 0.41868088}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438143262527313))-π/2
    2×atan(1.54982692363781)-π/2
    2×0.9977793124854-π/2
    1.9955586249708-1.57079632675     		φ = 0.42476230
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41868088} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.988647°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42476230 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.337087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37135 KachelY 28198 0.41868088 0.42476230 23.988647 24.337087
    Oben rechts KachelX + 1 37136 KachelY 28198 0.41877676 0.42476230 23.994141 24.337087
    Unten links KachelX 37135 KachelY + 1 28199 0.41868088 0.42467494 23.988647 24.332082
    Unten rechts KachelX + 1 37136 KachelY + 1 28199 0.41877676 0.42467494 23.994141 24.332082
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42476230-0.42467494) × R
    8.73599999999808e-05 × 6371000     		dl = 556.570559999878m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42476230-0.42467494) × R
    8.73599999999808e-05 × 6371000     		dr = 556.570559999878m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41868088-0.41877676) × cos(0.42476230) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.911136715865499 × 6371000     		do = 556.569211369059m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41868088-0.41877676) × cos(0.42467494) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.911172713812987 × 6371000     		du = 556.591200768559m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42476230)-sin(0.42467494))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911136715865499-0.911172713812987)×R²
    abs(0.41877676-0.41868088)×3.59979474877647e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.59979474877647e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.59979474877647e-05×40589641000000     		ar = 309776.157173604m²