Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37134 / 30433
↖ ↑ ↗
← N 12.720726°
E 23.983154°		 ← 595.80 m → N 12.720726°
E 23.988647°		 →
↑
595.82 m
↓
↑
595.82 m
↓
N 12.715368°
E 23.983154°		 ← 595.81 m →
354 988 m²		 N 12.715368°
E 23.988647°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37134 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30433 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566627502441406 y=0.464378356933594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566627502441406 × 216)
    floor (0.566627502441406 × 65536)
    floor (37134.5)     		tx = 37134
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464378356933594 × 216)
    floor (0.464378356933594 × 65536)
    floor (30433.5)     		ty = 30433
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37134 / 30433 ti = "16/37134/30433"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37134/30433.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37134 ÷ 216
    37134 ÷ 65536     		x = 0.566619873046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30433 ÷ 216
    30433 ÷ 65536     		y = 0.464370727539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566619873046875 × 2 - 1) × π
    0.13323974609375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41858501
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464370727539062 × 2 - 1) × π
    0.071258544921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.223865321225662
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41858501} λ = 0.41858501}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223865321225662))-π/2
    2×atan(1.25090253806254)-π/2
    2×0.896407439535831-π/2
    1.79281487907166-1.57079632675     		φ = 0.22201855
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41858501} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.983154°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22201855 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.720726°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37134 KachelY 30433 0.41858501 0.22201855 23.983154 12.720726
    Oben rechts KachelX + 1 37135 KachelY 30433 0.41868088 0.22201855 23.988647 12.720726
    Unten links KachelX 37134 KachelY + 1 30434 0.41858501 0.22192503 23.983154 12.715368
    Unten rechts KachelX + 1 37135 KachelY + 1 30434 0.41868088 0.22192503 23.988647 12.715368
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22201855-0.22192503) × R
    9.35200000000136e-05 × 6371000     		dl = 595.815920000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22201855-0.22192503) × R
    9.35200000000136e-05 × 6371000     		dr = 595.815920000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41858501-0.41868088) × cos(0.22201855) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975454954056157 × 6371000     		do = 595.795956123399m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41858501-0.41868088) × cos(0.22192503) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975475542807956 × 6371000     		du = 595.808531481198m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22201855)-sin(0.22192503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975454954056157-0.975475542807956)×R²
    abs(0.41868088-0.41858501)×2.0588751799111e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.0588751799111e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.0588751799111e-05×40589641000000     		ar = 354988.462287848m²