Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37133 / 38627
↖ ↑ ↗
← S 30.614277°
E 23.977661°		 ← 525.71 m → S 30.614277°
E 23.983154°		 →
↑
525.67 m
↓
↑
525.67 m
↓
S 30.619005°
E 23.977661°		 ← 525.68 m →
276 343 m²		 S 30.619005°
E 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38627 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566612243652344 y=0.589408874511719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566612243652344 × 216)
    floor (0.566612243652344 × 65536)
    floor (37133.5)     		tx = 37133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589408874511719 × 216)
    floor (0.589408874511719 × 65536)
    floor (38627.5)     		ty = 38627
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37133 / 38627 ti = "16/37133/38627"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37133/38627.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37133 ÷ 216
    37133 ÷ 65536     		x = 0.566604614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38627 ÷ 216
    38627 ÷ 65536     		y = 0.589401245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566604614257812 × 2 - 1) × π
    0.133209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41848913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589401245117188 × 2 - 1) × π
    -0.178802490234375 × 3.1415926535     		Φ = -0.561724589747818
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41848913} λ = 0.41848913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.561724589747818))-π/2
    2×atan(0.570224811513132)-π/2
    2×0.518238193917969-π/2
    1.03647638783594-1.57079632675     		φ = -0.53431994
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41848913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.977661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53431994 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.614277°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37133 KachelY 38627 0.41848913 -0.53431994 23.977661 -30.614277
    Oben rechts KachelX + 1 37134 KachelY 38627 0.41858501 -0.53431994 23.983154 -30.614277
    Unten links KachelX 37133 KachelY + 1 38628 0.41848913 -0.53440245 23.977661 -30.619005
    Unten rechts KachelX + 1 37134 KachelY + 1 38628 0.41858501 -0.53440245 23.983154 -30.619005
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53431994--0.53440245) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dl = 525.67120999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53431994--0.53440245) × R
    8.25099999999246e-05 × 6371000     		dr = 525.67120999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41848913-0.41858501) × cos(-0.53431994) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.860615152816104 × 6371000     		do = 525.708039808103m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41848913-0.41858501) × cos(-0.53440245) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.8605731311834 × 6371000     		du = 525.682370831574m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53431994)-sin(-0.53440245))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.860615152816104-0.8605731311834)×R²
    abs(0.41858501-0.41848913)×4.2021632703837e-05×R²
    9.58799999999926e-05×4.2021632703837e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×4.2021632703837e-05×40589641000000     		ar = 276342.834828237m²