Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37133 / 28220
↖ ↑ ↗
← N 24.226929°
E 23.977661°		 ← 557.05 m → N 24.226929°
E 23.983154°		 →
↑
557.02 m
↓
↑
557.02 m
↓
N 24.221919°
E 23.977661°		 ← 557.07 m →
310 293 m²		 N 24.221919°
E 23.983154°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28220 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566612243652344 y=0.430610656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566612243652344 × 216)
    floor (0.566612243652344 × 65536)
    floor (37133.5)     		tx = 37133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430610656738281 × 216)
    floor (0.430610656738281 × 65536)
    floor (28220.5)     		ty = 28220
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37133 / 28220 ti = "16/37133/28220"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37133/28220.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37133 ÷ 216
    37133 ÷ 65536     		x = 0.566604614257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28220 ÷ 216
    28220 ÷ 65536     		y = 0.43060302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566604614257812 × 2 - 1) × π
    0.133209228515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41848913
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43060302734375 × 2 - 1) × π
    0.1387939453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.436034038944031
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41848913} λ = 0.41848913}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.436034038944031))-π/2
    2×atan(1.54656143717163)-π/2
    2×0.996817999816582-π/2
    1.99363599963316-1.57079632675     		φ = 0.42283967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41848913} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.977661°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42283967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.226929°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37133 KachelY 28220 0.41848913 0.42283967 23.977661 24.226929
    Oben rechts KachelX + 1 37134 KachelY 28220 0.41858501 0.42283967 23.983154 24.226929
    Unten links KachelX 37133 KachelY + 1 28221 0.41848913 0.42275224 23.977661 24.221919
    Unten rechts KachelX + 1 37134 KachelY + 1 28221 0.41858501 0.42275224 23.983154 24.221919
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42283967-0.42275224) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dl = 557.016529999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42283967-0.42275224) × R
    8.74299999999995e-05 × 6371000     		dr = 557.016529999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41848913-0.41858501) × cos(0.42283967) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911927355295832 × 6371000     		do = 557.052174634902m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41848913-0.41858501) × cos(0.42275224) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.911963228857502 × 6371000     		du = 557.074088053141m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42283967)-sin(0.42275224))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.911927355295832-0.911963228857502)×R²
    abs(0.41858501-0.41848913)×3.58735616694528e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.58735616694528e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.58735616694528e-05×40589641000000     		ar = 310293.372609671m²