Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37133 / 27409
↖ ↑ ↗
← N 71.731801°
W 78.011169°		 ← 95.74 m → N 71.731801°
W 78.008423°		 →
↑
95.76 m
↓
↑
95.76 m
↓
N 71.730940°
W 78.011169°		 ← 95.74 m →
9 168 m²		 N 71.730940°
W 78.008423°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37133 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27409 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283306121826172 y=0.209117889404297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283306121826172 × 217)
    floor (0.283306121826172 × 131072)
    floor (37133.5)     		tx = 37133
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.209117889404297 × 217)
    floor (0.209117889404297 × 131072)
    floor (27409.5)     		ty = 27409
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37133 / 27409 ti = "17/37133/27409"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37133/27409.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37133 ÷ 217
    37133 ÷ 131072     		x = 0.283302307128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27409 ÷ 217
    27409 ÷ 131072     		y = 0.209114074707031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283302307128906 × 2 - 1) × π
    -0.433395385742188 × 3.1415926535     		Λ = -1.36155176
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.209114074707031 × 2 - 1) × π
    0.581771850585938 × 3.1415926535     		Φ = 1.82769017181388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36155176} λ = -1.36155176}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.82769017181388))-π/2
    2×atan(6.21950406846237)-π/2
    2×1.4113762170526-π/2
    2.82275243410521-1.57079632675     		φ = 1.25195611
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36155176} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.011169°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.25195611 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 71.731801°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37133 KachelY 27409 -1.36155176 1.25195611 -78.011169 71.731801
    Oben rechts KachelX + 1 37134 KachelY 27409 -1.36150382 1.25195611 -78.008423 71.731801
    Unten links KachelX 37133 KachelY + 1 27410 -1.36155176 1.25194108 -78.011169 71.730940
    Unten rechts KachelX + 1 37134 KachelY + 1 27410 -1.36150382 1.25194108 -78.008423 71.730940
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.25195611-1.25194108) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dl = 95.7561300008791m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.25195611-1.25194108) × R
    1.5030000000138e-05 × 6371000     		dr = 95.7561300008791m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36155176--1.36150382) × cos(1.25195611) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313465442006083 × 6371000     		do = 95.7404145890722m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36155176--1.36150382) × cos(1.25194108) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.313479714452794 × 6371000     		du = 95.7447737616705m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.25195611)-sin(1.25194108))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.313465442006083-0.313479714452794)×R²
    abs(-1.36150382--1.36155176)×1.42724467108724e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.42724467108724e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.42724467108724e-05×40589641000000     		ar = 9167.94029475286m²