Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37131 / 39206
↖ ↑ ↗
← S 33.312168°
E 23.966675°		 ← 510.43 m → S 33.312168°
E 23.972168°		 →
↑
510.44 m
↓
↑
510.44 m
↓
S 33.316758°
E 23.966675°		 ← 510.40 m →
260 539 m²		 S 33.316758°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 39206 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566581726074219 y=0.598243713378906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566581726074219 × 216)
    floor (0.566581726074219 × 65536)
    floor (37131.5)     		tx = 37131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.598243713378906 × 216)
    floor (0.598243713378906 × 65536)
    floor (39206.5)     		ty = 39206
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37131 / 39206 ti = "16/37131/39206"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37131/39206.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37131 ÷ 216
    37131 ÷ 65536     		x = 0.566574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 39206 ÷ 216
    39206 ÷ 65536     		y = 0.598236083984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566574096679688 × 2 - 1) × π
    0.133148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41829739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.598236083984375 × 2 - 1) × π
    -0.19647216796875 × 3.1415926535     		Φ = -0.617235519507843
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41829739} λ = 0.41829739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.617235519507843))-π/2
    2×atan(0.539433631974263)-π/2
    2×0.494694658535146-π/2
    0.989389317070292-1.57079632675     		φ = -0.58140701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41829739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.966675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.58140701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -33.312168°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37131 KachelY 39206 0.41829739 -0.58140701 23.966675 -33.312168
    Oben rechts KachelX + 1 37132 KachelY 39206 0.41839326 -0.58140701 23.972168 -33.312168
    Unten links KachelX 37131 KachelY + 1 39207 0.41829739 -0.58148713 23.966675 -33.316758
    Unten rechts KachelX + 1 37132 KachelY + 1 39207 0.41839326 -0.58148713 23.972168 -33.316758
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.58140701--0.58148713) × R
    8.01200000000168e-05 × 6371000     		dl = 510.444520000107m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.58140701--0.58148713) × R
    8.01200000000168e-05 × 6371000     		dr = 510.444520000107m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41829739-0.41839326) × cos(-0.58140701) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835690747047438 × 6371000     		do = 510.429687798728m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41829739-0.41839326) × cos(-0.58148713) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.835646742436788 × 6371000     		du = 510.402810320719m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.58140701)-sin(-0.58148713))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.835690747047438-0.835646742436788)×R²
    abs(0.41839326-0.41829739)×4.40046106495728e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.40046106495728e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.40046106495728e-05×40589641000000     		ar = 260539.177390818m²