Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37131 / 30442
↖ ↑ ↗
← N 12.672497°
E 23.966675°		 ← 595.91 m → N 12.672497°
E 23.972168°		 →
↑
595.94 m
↓
↑
595.94 m
↓
N 12.667137°
E 23.966675°		 ← 595.92 m →
355 132 m²		 N 12.667137°
E 23.972168°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37131 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30442 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566581726074219 y=0.464515686035156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566581726074219 × 216)
    floor (0.566581726074219 × 65536)
    floor (37131.5)     		tx = 37131
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464515686035156 × 216)
    floor (0.464515686035156 × 65536)
    floor (30442.5)     		ty = 30442
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37131 / 30442 ti = "16/37131/30442"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37131/30442.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37131 ÷ 216
    37131 ÷ 65536     		x = 0.566574096679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30442 ÷ 216
    30442 ÷ 65536     		y = 0.464508056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566574096679688 × 2 - 1) × π
    0.133148193359375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41829739
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464508056640625 × 2 - 1) × π
    0.07098388671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.223002457032501
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41829739} λ = 0.41829739}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.223002457032501))-π/2
    2×atan(1.24982364458953)-π/2
    2×0.895986557026824-π/2
    1.79197311405365-1.57079632675     		φ = 0.22117679
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41829739} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.966675°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.22117679 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.672497°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37131 KachelY 30442 0.41829739 0.22117679 23.966675 12.672497
    Oben rechts KachelX + 1 37132 KachelY 30442 0.41839326 0.22117679 23.972168 12.672497
    Unten links KachelX 37131 KachelY + 1 30443 0.41829739 0.22108325 23.966675 12.667137
    Unten rechts KachelX + 1 37132 KachelY + 1 30443 0.41839326 0.22108325 23.972168 12.667137
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.22117679-0.22108325) × R
    9.35400000000031e-05 × 6371000     		dl = 595.943340000019m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.22117679-0.22108325) × R
    9.35400000000031e-05 × 6371000     		dr = 595.943340000019m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41829739-0.41839326) × cos(0.22117679) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975639963223484 × 6371000     		do = 595.908957460141m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41829739-0.41839326) × cos(0.22108325) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.975660479563745 × 6371000     		du = 595.921488589858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.22117679)-sin(0.22108325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.975639963223484-0.975660479563745)×R²
    abs(0.41839326-0.41829739)×2.05163402615671e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.05163402615671e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.05163402615671e-05×40589641000000     		ar = 355131.708625289m²