Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3713 / 3764
↖ ↑ ↗
← S 81.773643°
E146.337891°		 ← 1 398.36 m → S 81.773643°
E146.425781°		 →
↑
1 397.35 m
↓
↑
1 397.35 m
↓
S 81.786210°
E146.337891°		 ← 1 396.24 m →
1 952 518 m²		 S 81.786210°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3764 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9066162109375 y=0.9190673828125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9066162109375 × 212)
    floor (0.9066162109375 × 4096)
    floor (3713.5)     		tx = 3713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9190673828125 × 212)
    floor (0.9190673828125 × 4096)
    floor (3764.5)     		ty = 3764
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3713 / 3764 ti = "12/3713/3764"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3713/3764.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3713 ÷ 212
    3713 ÷ 4096     		x = 0.906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3764 ÷ 212
    3764 ÷ 4096     		y = 0.9189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906494140625 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55407801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.9189453125 × 2 - 1) × π
    -0.837890625 × 3.1415926535     		Φ = -2.63231103193652
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55407801} λ = 2.55407801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63231103193652))-π/2
    2×atan(0.0719120789432043)-π/2
    2×0.0717885013810827-π/2
    0.143577002762165-1.57079632675     		φ = -1.42721932
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55407801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42721932 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.773643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3713 KachelY 3764 2.55407801 -1.42721932 146.337891 -81.773643
    Oben rechts KachelX + 1 3714 KachelY 3764 2.55561199 -1.42721932 146.425781 -81.773643
    Unten links KachelX 3713 KachelY + 1 3765 2.55407801 -1.42743865 146.337891 -81.786210
    Unten rechts KachelX + 1 3714 KachelY + 1 3765 2.55561199 -1.42743865 146.425781 -81.786210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42721932--1.42743865) × R
    0.000219329999999962 × 6371000     		dl = 1397.35142999976m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42721932--1.42743865) × R
    0.000219329999999962 × 6371000     		dr = 1397.35142999976m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55407801-2.55561199) × cos(-1.42721932) × R
    0.00153398000000005 × 0.143084223713226 × 6371000     		do = 1398.36019815911m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55407801-2.55561199) × cos(-1.42743865) × R
    0.00153398000000005 × 0.142867147065974 × 6371000     		du = 1396.23871099869m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42721932)-sin(-1.42743865))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143084223713226-0.142867147065974)×R²
    abs(2.55561199-2.55407801)×0.000217076647251846×R²
    0.00153398000000005×0.000217076647251846×6371000²
    0.00153398000000005×0.000217076647251846×40589641000000     		ar = 1952518.39882617m²