Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
12 / 3713 / 3721
↖ ↑ ↗
← S 81.214853°
E146.337891°		 ← 1 492.62 m → S 81.214853°
E146.425781°		 →
↑
1 491.51 m
↓
↑
1 491.51 m
↓
S 81.228267°
E146.337891°		 ← 1 490.36 m →
2 224 586 m²		 S 81.228267°
E146.425781°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3713 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3721 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9066162109375 y=0.9085693359375 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9066162109375 × 212)
    floor (0.9066162109375 × 4096)
    floor (3713.5)     		tx = 3713
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9085693359375 × 212)
    floor (0.9085693359375 × 4096)
    floor (3721.5)     		ty = 3721
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3713 / 3721 ti = "12/3713/3721"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3713/3721.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3713 ÷ 212
    3713 ÷ 4096     		x = 0.906494140625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3721 ÷ 212
    3721 ÷ 4096     		y = 0.908447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906494140625 × 2 - 1) × π
    0.81298828125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55407801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.908447265625 × 2 - 1) × π
    -0.81689453125 × 3.1415926535     		Φ = -2.56634985805933
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55407801} λ = 2.55407801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.56634985805933))-π/2
    2×atan(0.076815421511193)-π/2
    2×0.0766648682443673-π/2
    0.153329736488735-1.57079632675     		φ = -1.41746659
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55407801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.337891°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.41746659 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.214853°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3713 KachelY 3721 2.55407801 -1.41746659 146.337891 -81.214853
    Oben rechts KachelX + 1 3714 KachelY 3721 2.55561199 -1.41746659 146.425781 -81.214853
    Unten links KachelX 3713 KachelY + 1 3722 2.55407801 -1.41770070 146.337891 -81.228267
    Unten rechts KachelX + 1 3714 KachelY + 1 3722 2.55561199 -1.41770070 146.425781 -81.228267
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.41746659--1.41770070) × R
    0.000234109999999843 × 6371000     		dl = 1491.514809999m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.41746659--1.41770070) × R
    0.000234109999999843 × 6371000     		dr = 1491.514809999m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55407801-2.55561199) × cos(-1.41746659) × R
    0.00153398000000005 × 0.152729645409231 × 6371000     		do = 1492.62477495262m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55407801-2.55561199) × cos(-1.41770070) × R
    0.00153398000000005 × 0.152498277802654 × 6371000     		du = 1490.36362243849m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.41746659)-sin(-1.41770070))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.152729645409231-0.152498277802654)×R²
    abs(2.55561199-2.55407801)×0.000231367606577271×R²
    0.00153398000000005×0.000231367606577271×6371000²
    0.00153398000000005×0.000231367606577271×40589641000000     		ar = 2224585.69654564m²