Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37129 / 38713
↖ ↑ ↗
← S 31.019987°
E 23.955689°		 ← 523.44 m → S 31.019987°
E 23.961182°		 →
↑
523.44 m
↓
↑
523.44 m
↓
S 31.024694°
E 23.955689°		 ← 523.41 m →
273 982 m²		 S 31.024694°
E 23.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38713 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566551208496094 y=0.590721130371094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566551208496094 × 216)
    floor (0.566551208496094 × 65536)
    floor (37129.5)     		tx = 37129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.590721130371094 × 216)
    floor (0.590721130371094 × 65536)
    floor (38713.5)     		ty = 38713
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37129 / 38713 ti = "16/37129/38713"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37129/38713.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37129 ÷ 216
    37129 ÷ 65536     		x = 0.566543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38713 ÷ 216
    38713 ÷ 65536     		y = 0.590713500976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566543579101562 × 2 - 1) × π
    0.133087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41810564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.590713500976562 × 2 - 1) × π
    -0.181427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.569969736482468
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41810564} λ = 0.41810564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.569969736482468))-π/2
    2×atan(0.565542553747546)-π/2
    2×0.514697712733977-π/2
    1.02939542546795-1.57079632675     		φ = -0.54140090
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41810564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.955689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.54140090 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -31.019987°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37129 KachelY 38713 0.41810564 -0.54140090 23.955689 -31.019987
    Oben rechts KachelX + 1 37130 KachelY 38713 0.41820151 -0.54140090 23.961182 -31.019987
    Unten links KachelX 37129 KachelY + 1 38714 0.41810564 -0.54148306 23.955689 -31.024694
    Unten rechts KachelX + 1 37130 KachelY + 1 38714 0.41820151 -0.54148306 23.961182 -31.024694
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.54140090--0.54148306) × R
    8.21600000000533e-05 × 6371000     		dl = 523.44136000034m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.54140090--0.54148306) × R
    8.21600000000533e-05 × 6371000     		dr = 523.44136000034m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41810564-0.41820151) × cos(-0.54140090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856987586853272 × 6371000     		do = 523.43753709178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41810564-0.41820151) × cos(-0.54148306) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.856945243868775 × 6371000     		du = 523.411674514704m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.54140090)-sin(-0.54148306))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.856987586853272-0.856945243868775)×R²
    abs(0.41820151-0.41810564)×4.23429844971235e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.23429844971235e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.23429844971235e-05×40589641000000     		ar = 273982.087673333m²