Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37129 / 38146
↖ ↑ ↗
← S 28.314053°
E 23.955689°		 ← 537.71 m → S 28.314053°
E 23.961182°		 →
↑
537.71 m
↓
↑
537.71 m
↓
S 28.318889°
E 23.955689°		 ← 537.69 m →
289 129 m²		 S 28.318889°
E 23.961182°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38146 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566551208496094 y=0.582069396972656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566551208496094 × 216)
    floor (0.566551208496094 × 65536)
    floor (37129.5)     		tx = 37129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582069396972656 × 216)
    floor (0.582069396972656 × 65536)
    floor (38146.5)     		ty = 38146
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37129 / 38146 ti = "16/37129/38146"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37129/38146.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37129 ÷ 216
    37129 ÷ 65536     		x = 0.566543579101562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38146 ÷ 216
    38146 ÷ 65536     		y = 0.582061767578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566543579101562 × 2 - 1) × π
    0.133087158203125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41810564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.582061767578125 × 2 - 1) × π
    -0.16412353515625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515609292313324
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41810564} λ = 0.41810564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515609292313324))-π/2
    2×atan(0.597136652983409)-π/2
    2×0.538311438180094-π/2
    1.07662287636019-1.57079632675     		φ = -0.49417345
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41810564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.955689°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49417345 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.314053°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37129 KachelY 38146 0.41810564 -0.49417345 23.955689 -28.314053
    Oben rechts KachelX + 1 37130 KachelY 38146 0.41820151 -0.49417345 23.961182 -28.314053
    Unten links KachelX 37129 KachelY + 1 38147 0.41810564 -0.49425785 23.955689 -28.318889
    Unten rechts KachelX + 1 37130 KachelY + 1 38147 0.41820151 -0.49425785 23.961182 -28.318889
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49417345--0.49425785) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dl = 537.712399999901m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49417345--0.49425785) × R
    8.43999999999845e-05 × 6371000     		dr = 537.712399999901m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41810564-0.41820151) × cos(-0.49417345) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880361046612203 × 6371000     		do = 537.713760455122m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41810564-0.41820151) × cos(-0.49425785) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880321012206347 × 6371000     		du = 537.689307929645m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49417345)-sin(-0.49425785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880361046612203-0.880321012206347)×R²
    abs(0.41820151-0.41810564)×4.00344058568702e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.00344058568702e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00344058568702e-05×40589641000000     		ar = 289128.782605692m²