Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37128 / 28424
↖ ↑ ↗
← N 23.200961°
E 23.950195°		 ← 561.45 m → N 23.200961°
E 23.955689°		 →
↑
561.48 m
↓
↑
561.48 m
↓
N 23.195912°
E 23.950195°		 ← 561.47 m →
315 247 m²		 N 23.195912°
E 23.955689°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37128 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28424 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566535949707031 y=0.433723449707031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566535949707031 × 216)
    floor (0.566535949707031 × 65536)
    floor (37128.5)     		tx = 37128
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.433723449707031 × 216)
    floor (0.433723449707031 × 65536)
    floor (28424.5)     		ty = 28424
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37128 / 28424 ti = "16/37128/28424"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37128/28424.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37128 ÷ 216
    37128 ÷ 65536     		x = 0.5665283203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28424 ÷ 216
    28424 ÷ 65536     		y = 0.4337158203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.5665283203125 × 2 - 1) × π
    0.133056640625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41800976
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4337158203125 × 2 - 1) × π
    0.132568359375 × 3.1415926535     		Φ = 0.416475783899048
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41800976} λ = 0.41800976}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.416475783899048))-π/2
    2×atan(1.51660727456277)-π/2
    2×0.987864741255545-π/2
    1.97572948251109-1.57079632675     		φ = 0.40493316
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41800976} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.950195°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.40493316 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 23.200961°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37128 KachelY 28424 0.41800976 0.40493316 23.950195 23.200961
    Oben rechts KachelX + 1 37129 KachelY 28424 0.41810564 0.40493316 23.955689 23.200961
    Unten links KachelX 37128 KachelY + 1 28425 0.41800976 0.40484503 23.950195 23.195912
    Unten rechts KachelX + 1 37129 KachelY + 1 28425 0.41810564 0.40484503 23.955689 23.195912
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.40493316-0.40484503) × R
    8.81300000000196e-05 × 6371000     		dl = 561.476230000125m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.40493316-0.40484503) × R
    8.81300000000196e-05 × 6371000     		dr = 561.476230000125m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41800976-0.41810564) × cos(0.40493316) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.919128731326614 × 6371000     		do = 561.451145841341m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41800976-0.41810564) × cos(0.40484503) × R
    9.58799999999926e-05 × 0.919163447216381 × 6371000     		du = 561.472352093985m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.40493316)-sin(0.40484503))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.919128731326614-0.919163447216381)×R²
    abs(0.41810564-0.41800976)×3.47158897668898e-05×R²
    9.58799999999926e-05×3.47158897668898e-05×6371000²
    9.58799999999926e-05×3.47158897668898e-05×40589641000000     		ar = 315247.426303654m²