Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37127 / 30469
↖ ↑ ↗
← N 12.527753°
E 23.944702°		 ← 596.25 m → N 12.527753°
E 23.950195°		 →
↑
596.26 m
↓
↑
596.26 m
↓
N 12.522391°
E 23.944702°		 ← 596.26 m →
355 522 m²		 N 12.522391°
E 23.950195°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30469 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566520690917969 y=0.464927673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566520690917969 × 216)
    floor (0.566520690917969 × 65536)
    floor (37127.5)     		tx = 37127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.464927673339844 × 216)
    floor (0.464927673339844 × 65536)
    floor (30469.5)     		ty = 30469
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37127 / 30469 ti = "16/37127/30469"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37127/30469.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37127 ÷ 216
    37127 ÷ 65536     		x = 0.566513061523438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30469 ÷ 216
    30469 ÷ 65536     		y = 0.464920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566513061523438 × 2 - 1) × π
    0.133026123046875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41791389
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.464920043945312 × 2 - 1) × π
    0.070159912109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.220413864453018
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41791389} λ = 0.41791389}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.220413864453018))-π/2
    2×atan(1.246592544183)-π/2
    2×0.894723432566872-π/2
    1.78944686513374-1.57079632675     		φ = 0.21865054
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41791389} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.944702°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.21865054 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 12.527753°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37127 KachelY 30469 0.41791389 0.21865054 23.944702 12.527753
    Oben rechts KachelX + 1 37128 KachelY 30469 0.41800976 0.21865054 23.950195 12.527753
    Unten links KachelX 37127 KachelY + 1 30470 0.41791389 0.21855695 23.944702 12.522391
    Unten rechts KachelX + 1 37128 KachelY + 1 30470 0.41800976 0.21855695 23.950195 12.522391
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.21865054-0.21855695) × R
    9.35900000000045e-05 × 6371000     		dl = 596.261890000029m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.21865054-0.21855695) × R
    9.35900000000045e-05 × 6371000     		dr = 596.261890000029m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41791389-0.41800976) × cos(0.21865054) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976191052813259 × 6371000     		do = 596.24555624175m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41791389-0.41800976) × cos(0.21855695) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.976211349377916 × 6371000     		du = 596.257953135215m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.21865054)-sin(0.21855695))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.976191052813259-0.976211349377916)×R²
    abs(0.41800976-0.41791389)×2.02965646569631e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.02965646569631e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.02965646569631e-05×40589641000000     		ar = 355522.198425833m²