Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37126 / 103006
↖ ↑ ↗
← S 71.157617°
W 78.030396°		 ← 98.64 m → S 71.157617°
W 78.027649°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.158504°
W 78.030396°		 ← 98.64 m →
9 728 m²		 S 71.158504°
W 78.027649°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37126 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103006 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283252716064453 y=0.785877227783203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283252716064453 × 217)
    floor (0.283252716064453 × 131072)
    floor (37126.5)     		tx = 37126
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785877227783203 × 217)
    floor (0.785877227783203 × 131072)
    floor (103006.5)     		ty = 103006
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37126 / 103006 ti = "17/37126/103006"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37126/103006.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37126 ÷ 217
    37126 ÷ 131072     		x = 0.283248901367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103006 ÷ 217
    103006 ÷ 131072     		y = 0.785873413085938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283248901367188 × 2 - 1) × π
    -0.433502197265625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36188732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785873413085938 × 2 - 1) × π
    -0.571746826171875 × 3.1415926535     		Φ = -1.7961956287635
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36188732} λ = -1.36188732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.7961956287635))-π/2
    2×atan(0.165928944281024)-π/2
    2×0.164430807715916-π/2
    0.328861615431831-1.57079632675     		φ = -1.24193471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36188732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.030396°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24193471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.157617°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37126 KachelY 103006 -1.36188732 -1.24193471 -78.030396 -71.157617
    Oben rechts KachelX + 1 37127 KachelY 103006 -1.36183938 -1.24193471 -78.027649 -71.157617
    Unten links KachelX 37126 KachelY + 1 103007 -1.36188732 -1.24195019 -78.030396 -71.158504
    Unten rechts KachelX + 1 37127 KachelY + 1 103007 -1.36183938 -1.24195019 -78.027649 -71.158504
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24193471--1.24195019) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24193471--1.24195019) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36188732--1.36183938) × cos(-1.24193471) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.322965859945985 × 6371000     		do = 98.6420867686741m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36188732--1.36183938) × cos(-1.24195019) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32295120947096 × 6371000     		du = 98.6376121364983m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24193471)-sin(-1.24195019))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322965859945985-0.32295120947096)×R²
    abs(-1.36183938--1.36188732)×1.46504750250798e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46504750250798e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46504750250798e-05×40589641000000     		ar = 9728.165763927m²