Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37125 / 103005
↖ ↑ ↗
← S 71.156730°
W 78.033142°		 ← 98.65 m → S 71.156730°
W 78.030396°		 →
↑
98.62 m
↓
↑
98.62 m
↓
S 71.157617°
W 78.033142°		 ← 98.64 m →
9 729 m²		 S 71.157617°
W 78.030396°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37125 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 103005 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283245086669922 y=0.785869598388672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283245086669922 × 217)
    floor (0.283245086669922 × 131072)
    floor (37125.5)     		tx = 37125
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785869598388672 × 217)
    floor (0.785869598388672 × 131072)
    floor (103005.5)     		ty = 103005
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37125 / 103005 ti = "17/37125/103005"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37125/103005.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37125 ÷ 217
    37125 ÷ 131072     		x = 0.283241271972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 103005 ÷ 217
    103005 ÷ 131072     		y = 0.785865783691406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283241271972656 × 2 - 1) × π
    -0.433517456054688 × 3.1415926535     		Λ = -1.36193526
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785865783691406 × 2 - 1) × π
    -0.571731567382812 × 3.1415926535     		Φ = -1.79614769186388
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36193526} λ = -1.36193526}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79614769186388))-π/2
    2×atan(0.165936898590821)-π/2
    2×0.164438548882488-π/2
    0.328877097764976-1.57079632675     		φ = -1.24191923
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36193526} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.033142°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24191923 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.156730°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37125 KachelY 103005 -1.36193526 -1.24191923 -78.033142 -71.156730
    Oben rechts KachelX + 1 37126 KachelY 103005 -1.36188732 -1.24191923 -78.030396 -71.156730
    Unten links KachelX 37125 KachelY + 1 103006 -1.36193526 -1.24193471 -78.033142 -71.157617
    Unten rechts KachelX + 1 37126 KachelY + 1 103006 -1.36188732 -1.24193471 -78.030396 -71.157617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24191923--1.24193471) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dl = 98.6230800004311m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24191923--1.24193471) × R
    1.54800000000677e-05 × 6371000     		dr = 98.6230800004311m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36193526--1.36188732) × cos(-1.24191923) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322980510343618 × 6371000     		do = 98.6465613776693m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36193526--1.36188732) × cos(-1.24193471) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.322965859945985 × 6371000     		du = 98.642086769131m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24191923)-sin(-1.24193471))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.322980510343618-0.322965859945985)×R²
    abs(-1.36188732--1.36193526)×1.46503976327095e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.46503976327095e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.46503976327095e-05×40589641000000     		ar = 9728.60706492166m²