Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 37124 / 38148
S 28.323725°
E 23.928223°
← 537.66 m → S 28.323725°
E 23.933716°

537.65 m

537.65 m
S 28.328560°
E 23.928223°
← 537.64 m →
289 068 m²
S 28.328560°
E 23.933716°

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37124 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38148 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566474914550781 y=0.582099914550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566474914550781 × 216)
    floor (0.566474914550781 × 65536)
    floor (37124.5)
    tx = 37124
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.582099914550781 × 216)
    floor (0.582099914550781 × 65536)
    floor (38148.5)
    ty = 38148
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37124 / 38148 ti = "16/37124/38148"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37124/38148.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37124 ÷ 216
    37124 ÷ 65536
    x = 0.56646728515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38148 ÷ 216
    38148 ÷ 65536
    y = 0.58209228515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)
    +(x × 2 - 1) × π +(0.56646728515625 × 2 - 1) × π
    0.1329345703125 × 3.1415926535
    Λ = 0.41762627
    Breite (Φ)
    (Merkator)
    -(y × 2 - 1) × π -(0.58209228515625 × 2 - 1) × π
    -0.1641845703125 × 3.1415926535
    Φ = -0.515801039911804
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41762627} λ = 0.41762627}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515801039911804))-π/2
    2×atan(0.597022164441038)-π/2
    2×0.538227038460268-π/2
    1.07645407692054-1.57079632675
    φ = -0.49434225
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41762627} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.928223°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49434225 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.323725°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37124 KachelY 38148 0.41762627 -0.49434225 23.928223 -28.323725
    Oben rechts KachelX + 1 37125 KachelY 38148 0.41772214 -0.49434225 23.933716 -28.323725
    Unten links KachelX 37124 KachelY + 1 38149 0.41762627 -0.49442664 23.928223 -28.328560
    Unten rechts KachelX + 1 37125 KachelY + 1 38149 0.41772214 -0.49442664 23.933716 -28.328560
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOLUL) × R abs(-0.49434225--0.49442664) × R
    8.43899999999898e-05 × 6371000
    dl = 537.648689999935m
    Rechte Seite abs(φORUR) × R abs(-0.49434225--0.49442664) × R
    8.43899999999898e-05 × 6371000
    dr = 537.648689999935m
    Obere Seite abs(λOLOR) × cos(φOL) × R abs(0.41762627-0.41772214) × cos(-0.49434225) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880280971529646 × 6371000
    do = 537.664851574014m
    Untere Seite abs(λULUR) × cos(φUL) × R abs(0.41762627-0.41772214) × cos(-0.49442664) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.880240929327658 × 6371000
    du = 537.640394286756m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ12)×abs(sinφ1-sinφ2)× abs(λ12)×abs(sin(-0.49434225)-sin(-0.49442664))×
    abs(λ12)×abs(0.880280971529646-0.880240929327658)×
    abs(0.41772214-0.41762627)×4.00422019882773e-05×
    9.58699999999979e-05×4.00422019882773e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.00422019882773e-05×40589641000000
    ar = 289068.228565141m²