Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37123 / 27541
↖ ↑ ↗
← N 27.581329°
E 23.922730°		 ← 541.37 m → N 27.581329°
E 23.928223°		 →
↑
541.41 m
↓
↑
541.41 m
↓
N 27.576460°
E 23.922730°		 ← 541.40 m →
293 111 m²		 N 27.576460°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27541 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566459655761719 y=0.420249938964844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566459655761719 × 216)
    floor (0.566459655761719 × 65536)
    floor (37123.5)     		tx = 37123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420249938964844 × 216)
    floor (0.420249938964844 × 65536)
    floor (27541.5)     		ty = 27541
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37123 / 27541 ti = "16/37123/27541"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37123/27541.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37123 ÷ 216
    37123 ÷ 65536     		x = 0.566452026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27541 ÷ 216
    27541 ÷ 65536     		y = 0.420242309570312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566452026367188 × 2 - 1) × π
    0.132904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41753040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420242309570312 × 2 - 1) × π
    0.159515380859375 × 3.1415926535     		Φ = 0.501132348628067
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41753040} λ = 0.41753040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501132348628067))-π/2
    2×atan(1.65058925537442)-π/2
    2×1.02609066560887-π/2
    2.05218133121775-1.57079632675     		φ = 0.48138500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41753040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.922730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48138500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.581329°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37123 KachelY 27541 0.41753040 0.48138500 23.922730 27.581329
    Oben rechts KachelX + 1 37124 KachelY 27541 0.41762627 0.48138500 23.928223 27.581329
    Unten links KachelX 37123 KachelY + 1 27542 0.41753040 0.48130002 23.922730 27.576460
    Unten rechts KachelX + 1 37124 KachelY + 1 27542 0.41762627 0.48130002 23.928223 27.576460
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48138500-0.48130002) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dl = 541.407580000078m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48138500-0.48130002) × R
    8.49800000000123e-05 × 6371000     		dr = 541.407580000078m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41753040-0.41762627) × cos(0.48138500) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886354508097849 × 6371000     		do = 541.37449343052m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41753040-0.41762627) × cos(0.48130002) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886393851250927 × 6371000     		du = 541.398523747253m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48138500)-sin(0.48130002))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.886354508097849-0.886393851250927)×R²
    abs(0.41762627-0.41753040)×3.93431530778532e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.93431530778532e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.93431530778532e-05×40589641000000     		ar = 293110.759636155m²