Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37123 / 27534
↖ ↑ ↗
← N 27.615406°
E 23.922730°		 ← 541.21 m → N 27.615406°
E 23.928223°		 →
↑
541.22 m
↓
↑
541.22 m
↓
N 27.610539°
E 23.922730°		 ← 541.23 m →
292 916 m²		 N 27.610539°
E 23.928223°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566459655761719 y=0.420143127441406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566459655761719 × 216)
    floor (0.566459655761719 × 65536)
    floor (37123.5)     		tx = 37123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.420143127441406 × 216)
    floor (0.420143127441406 × 65536)
    floor (27534.5)     		ty = 27534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37123 / 27534 ti = "16/37123/27534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37123/27534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37123 ÷ 216
    37123 ÷ 65536     		x = 0.566452026367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27534 ÷ 216
    27534 ÷ 65536     		y = 0.420135498046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566452026367188 × 2 - 1) × π
    0.132904052734375 × 3.1415926535     		Λ = 0.41753040
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.420135498046875 × 2 - 1) × π
    0.15972900390625 × 3.1415926535     		Φ = 0.501803465222748
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41753040} λ = 0.41753040}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.501803465222748))-π/2
    2×atan(1.65169736500849)-π/2
    2×1.02638804299553-π/2
    2.05277608599105-1.57079632675     		φ = 0.48197976
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41753040} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.922730°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.48197976 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 27.615406°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37123 KachelY 27534 0.41753040 0.48197976 23.922730 27.615406
    Oben rechts KachelX + 1 37124 KachelY 27534 0.41762627 0.48197976 23.928223 27.615406
    Unten links KachelX 37123 KachelY + 1 27535 0.41753040 0.48189481 23.922730 27.610539
    Unten rechts KachelX + 1 37124 KachelY + 1 27535 0.41762627 0.48189481 23.928223 27.610539
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.48197976-0.48189481) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dl = 541.216449999825m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.48197976-0.48189481) × R
    8.49499999999725e-05 × 6371000     		dr = 541.216449999825m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41753040-0.41762627) × cos(0.48197976) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.88607897317051 × 6371000     		do = 541.206200066694m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41753040-0.41762627) × cos(0.48189481) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.886118347212604 × 6371000     		du = 541.230249250061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.48197976)-sin(0.48189481))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.88607897317051-0.886118347212604)×R²
    abs(0.41762627-0.41753040)×3.9374042094531e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.9374042094531e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.9374042094531e-05×40589641000000     		ar = 292916.206401051m²