Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37123 / 102658
↖ ↑ ↗
← S 70.846475°
W 78.038635°		 ← 100.21 m → S 70.846475°
W 78.035889°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
S 70.847376°
W 78.038635°		 ← 100.21 m →
10 042 m²		 S 70.847376°
W 78.035889°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37123 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102658 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283229827880859 y=0.783222198486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283229827880859 × 217)
    floor (0.283229827880859 × 131072)
    floor (37123.5)     		tx = 37123
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783222198486328 × 217)
    floor (0.783222198486328 × 131072)
    floor (102658.5)     		ty = 102658
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37123 / 102658 ti = "17/37123/102658"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37123/102658.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37123 ÷ 217
    37123 ÷ 131072     		x = 0.283226013183594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102658 ÷ 217
    102658 ÷ 131072     		y = 0.783218383789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283226013183594 × 2 - 1) × π
    -0.433547973632812 × 3.1415926535     		Λ = -1.36203113
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.566436767578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77951358769572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36203113} λ = -1.36203113}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77951358769572))-π/2
    2×atan(0.168720194891266)-π/2
    2×0.167146037089478-π/2
    0.334292074178955-1.57079632675     		φ = -1.23650425
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36203113} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.038635°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23650425 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.846475°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37123 KachelY 102658 -1.36203113 -1.23650425 -78.038635 -70.846475
    Oben rechts KachelX + 1 37124 KachelY 102658 -1.36198319 -1.23650425 -78.035889 -70.846475
    Unten links KachelX 37123 KachelY + 1 102659 -1.36203113 -1.23651998 -78.038635 -70.847376
    Unten rechts KachelX + 1 37124 KachelY + 1 102659 -1.36198319 -1.23651998 -78.035889 -70.847376
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23650425--1.23651998) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dl = 100.215829999239m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23650425--1.23651998) × R
    1.57299999998806e-05 × 6371000     		dr = 100.215829999239m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36203113--1.36198319) × cos(-1.23650425) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.328100517574221 × 6371000     		do = 100.210343374888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36203113--1.36198319) × cos(-1.23651998) × R
    4.79400000001906e-05 × 0.32808565830213 × 6371000     		du = 100.205804970714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23650425)-sin(-1.23651998))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.328100517574221-0.32808565830213)×R²
    abs(-1.36198319--1.36203113)×1.48592720909391e-05×R²
    4.79400000001906e-05×1.48592720909391e-05×6371000²
    4.79400000001906e-05×1.48592720909391e-05×40589641000000     		ar = 10042.4353259364m²