Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37122 / 38141
↖ ↑ ↗
← S 28.289870°
E 23.917236°		 ← 537.89 m → S 28.289870°
E 23.922730°		 →
↑
537.90 m
↓
↑
537.90 m
↓
S 28.294708°
E 23.917236°		 ← 537.87 m →
289 327 m²		 S 28.294708°
E 23.922730°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38141 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566444396972656 y=0.581993103027344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566444396972656 × 216)
    floor (0.566444396972656 × 65536)
    floor (37122.5)     		tx = 37122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.581993103027344 × 216)
    floor (0.581993103027344 × 65536)
    floor (38141.5)     		ty = 38141
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37122 / 38141 ti = "16/37122/38141"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37122/38141.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37122 ÷ 216
    37122 ÷ 65536     		x = 0.566436767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38141 ÷ 216
    38141 ÷ 65536     		y = 0.581985473632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566436767578125 × 2 - 1) × π
    0.13287353515625 × 3.1415926535     		Λ = 0.41743452
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.581985473632812 × 2 - 1) × π
    -0.163970947265625 × 3.1415926535     		Φ = -0.515129923317123
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41743452} λ = 0.41743452}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.515129923317123))-π/2
    2×atan(0.597422970401709)-π/2
    2×0.5385224710594-π/2
    1.0770449421188-1.57079632675     		φ = -0.49375138
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41743452} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.917236°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.49375138 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -28.289870°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37122 KachelY 38141 0.41743452 -0.49375138 23.917236 -28.289870
    Oben rechts KachelX + 1 37123 KachelY 38141 0.41753040 -0.49375138 23.922730 -28.289870
    Unten links KachelX 37122 KachelY + 1 38142 0.41743452 -0.49383581 23.917236 -28.294708
    Unten rechts KachelX + 1 37123 KachelY + 1 38142 0.41753040 -0.49383581 23.922730 -28.294708
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.49375138--0.49383581) × R
    8.44299999999687e-05 × 6371000     		dl = 537.903529999801m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.49375138--0.49383581) × R
    8.44299999999687e-05 × 6371000     		dr = 537.903529999801m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41743452-0.41753040) × cos(-0.49375138) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.880561157744136 × 6371000     		do = 537.892086438789m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41743452-0.41753040) × cos(-0.49383581) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.880521140481769 × 6371000     		du = 537.867641834847m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.49375138)-sin(-0.49383581))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.880561157744136-0.880521140481769)×R²
    abs(0.41753040-0.41743452)×4.00172623663542e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.00172623663542e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.00172623663542e-05×40589641000000     		ar = 289327.477806975m²