Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 37122 / 102659
↖ ↑ ↗
← S 70.847376°
W 78.041382°		 ← 100.21 m → S 70.847376°
W 78.038635°		 →
↑
100.22 m
↓
↑
100.22 m
↓
S 70.848277°
W 78.041382°		 ← 100.20 m →
10 042 m²		 S 70.848277°
W 78.038635°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37122 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102659 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283222198486328 y=0.783229827880859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283222198486328 × 217)
    floor (0.283222198486328 × 131072)
    floor (37122.5)     		tx = 37122
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.783229827880859 × 217)
    floor (0.783229827880859 × 131072)
    floor (102659.5)     		ty = 102659
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37122 / 102659 ti = "17/37122/102659"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37122/102659.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37122 ÷ 217
    37122 ÷ 131072     		x = 0.283218383789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102659 ÷ 217
    102659 ÷ 131072     		y = 0.783226013183594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283218383789062 × 2 - 1) × π
    -0.433563232421875 × 3.1415926535     		Λ = -1.36207907
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.783226013183594 × 2 - 1) × π
    -0.566452026367188 × 3.1415926535     		Φ = -1.77956152459534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36207907} λ = -1.36207907}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77956152459534))-π/2
    2×atan(0.168712107162072)-π/2
    2×0.167138173206801-π/2
    0.334276346413603-1.57079632675     		φ = -1.23651998
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36207907} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.041382°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23651998 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.847376°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37122 KachelY 102659 -1.36207907 -1.23651998 -78.041382 -70.847376
    Oben rechts KachelX + 1 37123 KachelY 102659 -1.36203113 -1.23651998 -78.038635 -70.847376
    Unten links KachelX 37122 KachelY + 1 102660 -1.36207907 -1.23653571 -78.041382 -70.848277
    Unten rechts KachelX + 1 37123 KachelY + 1 102660 -1.36203113 -1.23653571 -78.038635 -70.848277
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23651998--1.23653571) × R
    1.57300000001026e-05 × 6371000     		dl = 100.215830000654m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23651998--1.23653571) × R
    1.57300000001026e-05 × 6371000     		dr = 100.215830000654m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36207907--1.36203113) × cos(-1.23651998) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32808565830213 × 6371000     		do = 100.20580497025m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36207907--1.36203113) × cos(-1.23653571) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.32807079894886 × 6371000     		du = 100.201266541281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23651998)-sin(-1.23653571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.32808565830213-0.32807079894886)×R²
    abs(-1.36203113--1.36207907)×1.48593532703356e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.48593532703356e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.48593532703356e-05×40589641000000     		ar = 10041.9805050581m²