Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37121 / 20737
↖ ↑ ↗
← N 76.679152°
W 78.044128°		 ← 70.36 m → N 76.679152°
W 78.041382°		 →
↑
70.34 m
↓
↑
70.34 m
↓
N 76.678519°
W 78.044128°		 ← 70.36 m →
4 949 m²		 N 76.678519°
W 78.041382°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37121 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 20737 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283214569091797 y=0.158214569091797 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283214569091797 × 217)
    floor (0.283214569091797 × 131072)
    floor (37121.5)     		tx = 37121
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.158214569091797 × 217)
    floor (0.158214569091797 × 131072)
    floor (20737.5)     		ty = 20737
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37121 / 20737 ti = "17/37121/20737"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37121/20737.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37121 ÷ 217
    37121 ÷ 131072     		x = 0.283210754394531
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 20737 ÷ 217
    20737 ÷ 131072     		y = 0.158210754394531
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283210754394531 × 2 - 1) × π
    -0.433578491210938 × 3.1415926535     		Λ = -1.36212700
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.158210754394531 × 2 - 1) × π
    0.683578491210938 × 3.1415926535     		Φ = 2.1475251660789
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36212700} λ = -1.36212700}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.1475251660789))-π/2
    2×atan(8.56363856701702)-π/2
    2×1.45454999923674-π/2
    2.90909999847347-1.57079632675     		φ = 1.33830367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36212700} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.044128°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.33830367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 76.679152°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37121 KachelY 20737 -1.36212700 1.33830367 -78.044128 76.679152
    Oben rechts KachelX + 1 37122 KachelY 20737 -1.36207907 1.33830367 -78.041382 76.679152
    Unten links KachelX 37121 KachelY + 1 20738 -1.36212700 1.33829263 -78.044128 76.678519
    Unten rechts KachelX + 1 37122 KachelY + 1 20738 -1.36207907 1.33829263 -78.041382 76.678519
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.33830367-1.33829263) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dl = 70.3358399997591m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.33830367-1.33829263) × R
    1.10399999999622e-05 × 6371000     		dr = 70.3358399997591m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36212700--1.36207907) × cos(1.33830367) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230403828927023 × 6371000     		do = 70.3565809209716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36212700--1.36207907) × cos(1.33829263) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.230414571882897 × 6371000     		du = 70.3598614117855m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.33830367)-sin(1.33829263))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.230403828927023-0.230414571882897)×R²
    abs(-1.36207907--1.36212700)×1.07429558739158e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.07429558739158e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.07429558739158e-05×40589641000000     		ar = 4948.70458663649m²