Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3712 / 3762
↖ ↑ ↗
← S 81.748454°
E146.250000°		 ← 1 402.61 m → S 81.748454°
E146.337891°		 →
↑
1 401.56 m
↓
↑
1 401.56 m
↓
S 81.761058°
E146.250000°		 ← 1 400.48 m →
1 964 349 m²		 S 81.761058°
E146.337891°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3712 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3762 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9063720703125 y=0.9185791015625 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9063720703125 × 212)
    floor (0.9063720703125 × 4096)
    floor (3712.5)     		tx = 3712
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9185791015625 × 212)
    floor (0.9185791015625 × 4096)
    floor (3762.5)     		ty = 3762
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3712 / 3762 ti = "12/3712/3762"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3712/3762.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3712 ÷ 212
    3712 ÷ 4096     		x = 0.90625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3762 ÷ 212
    3762 ÷ 4096     		y = 0.91845703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.90625 × 2 - 1) × π
    0.8125 × 3.1415926535     		Λ = 2.55254403
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.91845703125 × 2 - 1) × π
    -0.8369140625 × 3.1415926535     		Φ = -2.62924307036084
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55254403} λ = 2.55254403}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.62924307036084))-π/2
    2×atan(0.0721330412167969)-π/2
    2×0.0720083233823081-π/2
    0.144016646764616-1.57079632675     		φ = -1.42677968
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55254403} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.250000°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42677968 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.748454°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3712 KachelY 3762 2.55254403 -1.42677968 146.250000 -81.748454
    Oben rechts KachelX + 1 3713 KachelY 3762 2.55407801 -1.42677968 146.337891 -81.748454
    Unten links KachelX 3712 KachelY + 1 3763 2.55254403 -1.42699967 146.250000 -81.761058
    Unten rechts KachelX + 1 3713 KachelY + 1 3763 2.55407801 -1.42699967 146.337891 -81.761058
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42677968--1.42699967) × R
    0.000219989999999948 × 6371000     		dl = 1401.55628999967m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42677968--1.42699967) × R
    0.000219989999999948 × 6371000     		dr = 1401.55628999967m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55254403-2.55407801) × cos(-1.42677968) × R
    0.00153398000000005 × 0.143519326202442 × 6371000     		do = 1402.61244894715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55254403-2.55407801) × cos(-1.42699967) × R
    0.00153398000000005 × 0.143301610174626 × 6371000     		du = 1400.48471312905m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42677968)-sin(-1.42699967))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143519326202442-0.143301610174626)×R²
    abs(2.55407801-2.55254403)×0.000217716027816284×R²
    0.00153398000000005×0.000217716027816284×6371000²
    0.00153398000000005×0.000217716027816284×40589641000000     		ar = 1964349.23742239m²