Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37119 / 38661
↖ ↑ ↗
← S 30.774879°
E 23.900757°		 ← 524.78 m → S 30.774879°
E 23.906250°		 →
↑
524.78 m
↓
↑
524.78 m
↓
S 30.779598°
E 23.900757°		 ← 524.75 m →
275 387 m²		 S 30.779598°
E 23.906250°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37119 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 38661 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566398620605469 y=0.589927673339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566398620605469 × 216)
    floor (0.566398620605469 × 65536)
    floor (37119.5)     		tx = 37119
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.589927673339844 × 216)
    floor (0.589927673339844 × 65536)
    floor (38661.5)     		ty = 38661
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37119 / 38661 ti = "16/37119/38661"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37119/38661.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37119 ÷ 216
    37119 ÷ 65536     		x = 0.566390991210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 38661 ÷ 216
    38661 ÷ 65536     		y = 0.589920043945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566390991210938 × 2 - 1) × π
    0.132781982421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41714690
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.589920043945312 × 2 - 1) × π
    -0.179840087890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.564984298921982
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41714690} λ = 0.41714690}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.564984298921982))-π/2
    2×atan(0.568369070694605)-π/2
    2×0.516836681795317-π/2
    1.03367336359063-1.57079632675     		φ = -0.53712296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41714690} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.900757°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.53712296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -30.774879°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37119 KachelY 38661 0.41714690 -0.53712296 23.900757 -30.774879
    Oben rechts KachelX + 1 37120 KachelY 38661 0.41724277 -0.53712296 23.906250 -30.774879
    Unten links KachelX 37119 KachelY + 1 38662 0.41714690 -0.53720533 23.900757 -30.779598
    Unten rechts KachelX + 1 37120 KachelY + 1 38662 0.41724277 -0.53720533 23.906250 -30.779598
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.53712296--0.53720533) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dl = 524.779269999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.53712296--0.53720533) × R
    8.23699999999983e-05 × 6371000     		dr = 524.779269999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41714690-0.41724277) × cos(-0.53712296) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859184319357662 × 6371000     		do = 524.779274439423m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41714690-0.41724277) × cos(-0.53720533) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.859142170497698 × 6371000     		du = 524.753530431237m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.53712296)-sin(-0.53720533))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.859184319357662-0.859142170497698)×R²
    abs(0.41724277-0.41714690)×4.21488599647857e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.21488599647857e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.21488599647857e-05×40589641000000     		ar = 275386.529746289m²