Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37113 / 30311
↖ ↑ ↗
← N 13.373587°
E 23.867798°		 ← 594.22 m → N 13.373587°
E 23.873291°		 →
↑
594.22 m
↓
↑
594.22 m
↓
N 13.368243°
E 23.867798°		 ← 594.24 m →
353 106 m²		 N 13.368243°
E 23.873291°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30311 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566307067871094 y=0.462516784667969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566307067871094 × 216)
    floor (0.566307067871094 × 65536)
    floor (37113.5)     		tx = 37113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.462516784667969 × 216)
    floor (0.462516784667969 × 65536)
    floor (30311.5)     		ty = 30311
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37113 / 30311 ti = "16/37113/30311"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37113/30311.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37113 ÷ 216
    37113 ÷ 65536     		x = 0.566299438476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30311 ÷ 216
    30311 ÷ 65536     		y = 0.462509155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566299438476562 × 2 - 1) × π
    0.132598876953125 × 3.1415926535     		Λ = 0.41657166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.462509155273438 × 2 - 1) × π
    0.074981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.235561924732956
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41657166} λ = 0.41657166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.235561924732956))-π/2
    2×atan(1.26561975199581)-π/2
    2×0.902104730854925-π/2
    1.80420946170985-1.57079632675     		φ = 0.23341313
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41657166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.867798°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23341313 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.373587°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37113 KachelY 30311 0.41657166 0.23341313 23.867798 13.373587
    Oben rechts KachelX + 1 37114 KachelY 30311 0.41666753 0.23341313 23.873291 13.373587
    Unten links KachelX 37113 KachelY + 1 30312 0.41657166 0.23331986 23.867798 13.368243
    Unten rechts KachelX + 1 37114 KachelY + 1 30312 0.41666753 0.23331986 23.873291 13.368243
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23341313-0.23331986) × R
    9.32700000000064e-05 × 6371000     		dl = 594.223170000041m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23341313-0.23331986) × R
    9.32700000000064e-05 × 6371000     		dr = 594.223170000041m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41657166-0.41666753) × cos(0.23341313) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972882608254642 × 6371000     		do = 594.224798767624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41657166-0.41666753) × cos(0.23331986) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.972904177321606 × 6371000     		du = 594.237972889935m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23341313)-sin(0.23331986))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.972882608254642-0.972904177321606)×R²
    abs(0.41666753-0.41657166)×2.15690669637114e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.15690669637114e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.15690669637114e-05×40589641000000     		ar = 353106.058056609m²