Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37111 / 30347
↖ ↑ ↗
← N 13.181120°
E 23.856812°		 ← 594.70 m → N 13.181120°
E 23.862304°		 →
↑
594.73 m
↓
↑
594.73 m
↓
N 13.175771°
E 23.856812°		 ← 594.71 m →
353 689 m²		 N 13.175771°
E 23.862304°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37111 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30347 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566276550292969 y=0.463066101074219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566276550292969 × 216)
    floor (0.566276550292969 × 65536)
    floor (37111.5)     		tx = 37111
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.463066101074219 × 216)
    floor (0.463066101074219 × 65536)
    floor (30347.5)     		ty = 30347
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37111 / 30347 ti = "16/37111/30347"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37111/30347.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37111 ÷ 216
    37111 ÷ 65536     		x = 0.566268920898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30347 ÷ 216
    30347 ÷ 65536     		y = 0.463058471679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566268920898438 × 2 - 1) × π
    0.132537841796875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41637991
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.463058471679688 × 2 - 1) × π
    0.073883056640625 × 3.1415926535     		Φ = 0.232110467960312
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41637991} λ = 0.41637991}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.232110467960312))-π/2
    2×atan(1.26125904984759)-π/2
    2×0.900425132540914-π/2
    1.80085026508183-1.57079632675     		φ = 0.23005394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41637991} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.856812°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23005394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.181120°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37111 KachelY 30347 0.41637991 0.23005394 23.856812 13.181120
    Oben rechts KachelX + 1 37112 KachelY 30347 0.41647578 0.23005394 23.862304 13.181120
    Unten links KachelX 37111 KachelY + 1 30348 0.41637991 0.22996059 23.856812 13.175771
    Unten rechts KachelX + 1 37112 KachelY + 1 30348 0.41647578 0.22996059 23.862304 13.175771
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23005394-0.22996059) × R
    9.33500000000198e-05 × 6371000     		dl = 594.732850000126m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23005394-0.22996059) × R
    9.33500000000198e-05 × 6371000     		dr = 594.732850000126m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41637991-0.41647578) × cos(0.23005394) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973654096481309 × 6371000     		do = 594.69601434117m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41637991-0.41647578) × cos(0.22996059) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.973675378843451 × 6371000     		du = 594.709013347684m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23005394)-sin(0.22996059))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.973654096481309-0.973675378843451)×R²
    abs(0.41647578-0.41637991)×2.1282362142383e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.1282362142383e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.1282362142383e-05×40589641000000     		ar = 353689.121217811m²