Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 37110 / 28229
↖ ↑ ↗
← N 24.181836°
E 23.851319°		 ← 557.19 m → N 24.181836°
E 23.856812°		 →
↑
557.21 m
↓
↑
557.21 m
↓
N 24.176825°
E 23.851319°		 ← 557.21 m →
310 477 m²		 N 24.176825°
E 23.856812°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28229 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.566261291503906 y=0.430747985839844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.566261291503906 × 216)
    floor (0.566261291503906 × 65536)
    floor (37110.5)     		tx = 37110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430747985839844 × 216)
    floor (0.430747985839844 × 65536)
    floor (28229.5)     		ty = 28229
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 37110 / 28229 ti = "16/37110/28229"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/37110/28229.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37110 ÷ 216
    37110 ÷ 65536     		x = 0.566253662109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28229 ÷ 216
    28229 ÷ 65536     		y = 0.430740356445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.566253662109375 × 2 - 1) × π
    0.13250732421875 × 3.1415926535     		Λ = 0.41628404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.430740356445312 × 2 - 1) × π
    0.138519287109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.43517117475087
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.41628404} λ = 0.41628404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.43517117475087))-π/2
    2×atan(1.54522754025367)-π/2
    2×0.99642449546541-π/2
    1.99284899093082-1.57079632675     		φ = 0.42205266
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.41628404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 23.851319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42205266 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.181836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37110 KachelY 28229 0.41628404 0.42205266 23.851319 24.181836
    Oben rechts KachelX + 1 37111 KachelY 28229 0.41637991 0.42205266 23.856812 24.181836
    Unten links KachelX 37110 KachelY + 1 28230 0.41628404 0.42196520 23.851319 24.176825
    Unten rechts KachelX + 1 37111 KachelY + 1 28230 0.41637991 0.42196520 23.856812 24.176825
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42205266-0.42196520) × R
    8.74600000000392e-05 × 6371000     		dl = 557.20766000025m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42205266-0.42196520) × R
    8.74600000000392e-05 × 6371000     		dr = 557.20766000025m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.41628404-0.41637991) × cos(0.42205266) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.912250023718733 × 6371000     		do = 557.1911576696m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.41628404-0.41637991) × cos(0.42196520) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.91228584680653 × 6371000     		du = 557.21303797351m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42205266)-sin(0.42196520))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.912250023718733-0.91228584680653)×R²
    abs(0.41637991-0.41628404)×3.58230877975929e-05×R²
    9.58699999999979e-05×3.58230877975929e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×3.58230877975929e-05×40589641000000     		ar = 310477.277272223m²