Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 37110 / 102955
↖ ↑ ↗
← S 71.112326°
W 78.074341°		 ← 98.87 m → S 71.112326°
W 78.071594°		 →
↑
98.81 m
↓
↑
98.81 m
↓
S 71.113214°
W 78.074341°		 ← 98.87 m →
9 770 m²		 S 71.113214°
W 78.071594°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 37110 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 102955 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.283130645751953 y=0.785488128662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.283130645751953 × 217)
    floor (0.283130645751953 × 131072)
    floor (37110.5)     		tx = 37110
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.785488128662109 × 217)
    floor (0.785488128662109 × 131072)
    floor (102955.5)     		ty = 102955
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 37110 / 102955 ti = "17/37110/102955"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/37110/102955.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 37110 ÷ 217
    37110 ÷ 131072     		x = 0.283126831054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 102955 ÷ 217
    102955 ÷ 131072     		y = 0.785484313964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.283126831054688 × 2 - 1) × π
    -0.433746337890625 × 3.1415926535     		Λ = -1.36265431
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.785484313964844 × 2 - 1) × π
    -0.570968627929688 × 3.1415926535     		Φ = -1.79375084688288
    Länge (λ) Λ (unverändert) -1.36265431} λ = -1.36265431}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.79375084688288))-π/2
    2×atan(0.166335100637025)-π/2
    2×0.164826055293649-π/2
    0.329652110587297-1.57079632675     		φ = -1.24114422
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -1.36265431} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -78.074341°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.24114422 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -71.112326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 37110 KachelY 102955 -1.36265431 -1.24114422 -78.074341 -71.112326
    Oben rechts KachelX + 1 37111 KachelY 102955 -1.36260637 -1.24114422 -78.071594 -71.112326
    Unten links KachelX 37110 KachelY + 1 102956 -1.36265431 -1.24115973 -78.074341 -71.113214
    Unten rechts KachelX + 1 37111 KachelY + 1 102956 -1.36260637 -1.24115973 -78.071594 -71.113214
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.24114422--1.24115973) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dl = 98.8142099992695m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.24114422--1.24115973) × R
    1.55099999998853e-05 × 6371000     		dr = 98.8142099992695m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-1.36265431--1.36260637) × cos(-1.24114422) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323713887089041 × 6371000     		do = 98.8705535123821m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-1.36265431--1.36260637) × cos(-1.24115973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.323699212185767 × 6371000     		du = 98.86607141919m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.24114422)-sin(-1.24115973))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.323713887089041-0.323699212185767)×R²
    abs(-1.36260637--1.36265431)×1.46749032747806e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.46749032747806e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.46749032747806e-05×40589641000000     		ar = 9769.59419034348m²