Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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13 / 3711 / 5158
↖ ↑ ↗
← S 42.228518°
W 16.918945°		 ← 3 618.30 m → S 42.228518°
W 16.875000°		 →
↑
3 617.33 m
↓
↑
3 617.33 m
↓
S 42.261049°
W 16.918945°		 ← 3 616.44 m →
13 085 208 m²		 S 42.261049°
W 16.875000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 13 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 5158 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.45306396484375 y=0.62969970703125 und der Vergrößerungsstufe zoom=13 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.45306396484375 × 213)
    floor (0.45306396484375 × 8192)
    floor (3711.5)     		tx = 3711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.62969970703125 × 213)
    floor (0.62969970703125 × 8192)
    floor (5158.5)     		ty = 5158
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 13 / 3711 / 5158 ti = "13/3711/5158"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/13/3711/5158.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3711 ÷ 213
    3711 ÷ 8192     		x = 0.4530029296875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 5158 ÷ 213
    5158 ÷ 8192     		y = 0.629638671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4530029296875 × 2 - 1) × π
    -0.093994140625 × 3.1415926535     		Λ = -0.29529130
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.629638671875 × 2 - 1) × π
    -0.25927734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.814543798343994
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.29529130} λ = -0.29529130}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.814543798343994))-π/2
    2×atan(0.442841306223549)-π/2
    2×0.416884830355363-π/2
    0.833769660710726-1.57079632675     		φ = -0.73702667
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.29529130} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -16.918945°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.73702667 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -42.228518°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3711 KachelY 5158 -0.29529130 -0.73702667 -16.918945 -42.228518
    Oben rechts KachelX + 1 3712 KachelY 5158 -0.29452431 -0.73702667 -16.875000 -42.228518
    Unten links KachelX 3711 KachelY + 1 5159 -0.29529130 -0.73759445 -16.918945 -42.261049
    Unten rechts KachelX + 1 3712 KachelY + 1 5159 -0.29452431 -0.73759445 -16.875000 -42.261049
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.73702667--0.73759445) × R
    0.000567780000000018 × 6371000     		dl = 3617.32638000011m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.73702667--0.73759445) × R
    0.000567780000000018 × 6371000     		dr = 3617.32638000011m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.29529130--0.29452431) × cos(-0.73702667) × R
    0.000766989999999967 × 0.74047017196791 × 6371000     		do = 3618.30252676618m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.29529130--0.29452431) × cos(-0.73759445) × R
    0.000766989999999967 × 0.74008845381485 × 6371000     		du = 3616.43726357259m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.73702667)-sin(-0.73759445))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.74047017196791-0.74008845381485)×R²
    abs(-0.29452431--0.29529130)×0.000381718153059984×R²
    0.000766989999999967×0.000381718153059984×6371000²
    0.000766989999999967×0.000381718153059984×40589641000000     		ar = 13085207.8995413m²