Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3711 / 3763
↖ ↑ ↗
← S 81.761058°
E146.162109°		 ← 1 400.48 m → S 81.761058°
E146.250000°		 →
↑
1 399.39 m
↓
↑
1 399.39 m
↓
S 81.773643°
E146.162109°		 ← 1 398.36 m →
1 958 338 m²		 S 81.773643°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3763 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9061279296875 y=0.9188232421875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9061279296875 × 212)
    floor (0.9061279296875 × 4096)
    floor (3711.5)     		tx = 3711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.9188232421875 × 212)
    floor (0.9188232421875 × 4096)
    floor (3763.5)     		ty = 3763
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3711 / 3763 ti = "12/3711/3763"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3711/3763.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3711 ÷ 212
    3711 ÷ 4096     		x = 0.906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3763 ÷ 212
    3763 ÷ 4096     		y = 0.918701171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55101005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.918701171875 × 2 - 1) × π
    -0.83740234375 × 3.1415926535     		Φ = -2.63077705114868
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55101005} λ = 2.55101005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.63077705114868))-π/2
    2×atan(0.0720224753420466)-π/2
    2×0.0718983289510928-π/2
    0.143796657902186-1.57079632675     		φ = -1.42699967
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55101005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.42699967 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -81.761058°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3711 KachelY 3763 2.55101005 -1.42699967 146.162109 -81.761058
    Oben rechts KachelX + 1 3712 KachelY 3763 2.55254403 -1.42699967 146.250000 -81.761058
    Unten links KachelX 3711 KachelY + 1 3764 2.55101005 -1.42721932 146.162109 -81.773643
    Unten rechts KachelX + 1 3712 KachelY + 1 3764 2.55254403 -1.42721932 146.250000 -81.773643
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.42699967--1.42721932) × R
    0.000219650000000016 × 6371000     		dl = 1399.3901500001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.42699967--1.42721932) × R
    0.000219650000000016 × 6371000     		dr = 1399.3901500001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55101005-2.55254403) × cos(-1.42699967) × R
    0.00153398000000005 × 0.143301610174626 × 6371000     		do = 1400.48471312905m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55101005-2.55254403) × cos(-1.42721932) × R
    0.00153398000000005 × 0.143084223713226 × 6371000     		du = 1398.36019815911m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.42699967)-sin(-1.42721932))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.143301610174626-0.143084223713226)×R²
    abs(2.55254403-2.55101005)×0.000217386461400154×R²
    0.00153398000000005×0.000217386461400154×6371000²
    0.00153398000000005×0.000217386461400154×40589641000000     		ar = 1958338.00798541m²