Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 3711 / 3709
↖ ↑ ↗
← N 79.941676°
W139.229737°		 ← 213.36 m → N 79.941676°
W139.218750°		 →
↑
213.36 m
↓
↑
213.36 m
↓
N 79.939757°
W139.229737°		 ← 213.40 m →
45 528 m²		 N 79.939757°
W139.218750°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3709 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.113265991210938 y=0.113204956054688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.113265991210938 × 215)
    floor (0.113265991210938 × 32768)
    floor (3711.5)     		tx = 3711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113204956054688 × 215)
    floor (0.113204956054688 × 32768)
    floor (3709.5)     		ty = 3709
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 3711 / 3709 ti = "15/3711/3709"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/3711/3709.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3711 ÷ 215
    3711 ÷ 32768     		x = 0.113250732421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3709 ÷ 215
    3709 ÷ 32768     		y = 0.113189697265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.113250732421875 × 2 - 1) × π
    -0.77349853515625 × 3.1415926535     		Λ = -2.43001732
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113189697265625 × 2 - 1) × π
    0.77362060546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.43040081073685
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.43001732} λ = -2.43001732}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.43040081073685))-π/2
    2×atan(11.3634357544175)-π/2
    2×1.48302089286087-π/2
    2.96604178572175-1.57079632675     		φ = 1.39524546
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.43001732} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -139.229737°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39524546 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.941676°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3711 KachelY 3709 -2.43001732 1.39524546 -139.229737 79.941676
    Oben rechts KachelX + 1 3712 KachelY 3709 -2.42982557 1.39524546 -139.218750 79.941676
    Unten links KachelX 3711 KachelY + 1 3710 -2.43001732 1.39521197 -139.229737 79.939757
    Unten rechts KachelX + 1 3712 KachelY + 1 3710 -2.42982557 1.39521197 -139.218750 79.939757
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39524546-1.39521197) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dl = 213.364789999098m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39524546-1.39521197) × R
    3.34899999998584e-05 × 6371000     		dr = 213.364789999098m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.43001732--2.42982557) × cos(1.39524546) × R
    0.000191749999999935 × 0.174650564301573 × 6371000     		do = 213.359984385378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.43001732--2.42982557) × cos(1.39521197) × R
    0.000191749999999935 × 0.17468353947837 × 6371000     		du = 213.400268155629m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39524546)-sin(1.39521197))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174650564301573-0.17468353947837)×R²
    abs(-2.42982557--2.43001732)×3.29751767967346e-05×R²
    0.000191749999999935×3.29751767967346e-05×6371000²
    0.000191749999999935×3.29751767967346e-05×40589641000000     		ar = 45527.8058357008m²