Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 3711 / 3651
↖ ↑ ↗
← S 80.223588°
E146.162109°		 ← 1 659.49 m → S 80.223588°
E146.250000°		 →
↑
1 658.24 m
↓
↑
1 658.24 m
↓
S 80.238500°
E146.162109°		 ← 1 656.98 m →
2 749 761 m²		 S 80.238500°
E146.250000°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 3711 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3651 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.9061279296875 y=0.8914794921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.9061279296875 × 212)
    floor (0.9061279296875 × 4096)
    floor (3711.5)     		tx = 3711
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.8914794921875 × 212)
    floor (0.8914794921875 × 4096)
    floor (3651.5)     		ty = 3651
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 3711 / 3651 ti = "12/3711/3651"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/3711/3651.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 3711 ÷ 212
    3711 ÷ 4096     		x = 0.906005859375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3651 ÷ 212
    3651 ÷ 4096     		y = 0.891357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.906005859375 × 2 - 1) × π
    0.81201171875 × 3.1415926535     		Λ = 2.55101005
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.891357421875 × 2 - 1) × π
    -0.78271484375 × 3.1415926535     		Φ = -2.4589712029104
    Länge (λ) Λ (unverändert) 2.55101005} λ = 2.55101005}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-2.4589712029104))-π/2
    2×atan(0.0855228914249134)-π/2
    2×0.0853152922033218-π/2
    0.170630584406644-1.57079632675     		φ = -1.40016574
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 2.55101005} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 146.162109°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.40016574 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -80.223588°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 3711 KachelY 3651 2.55101005 -1.40016574 146.162109 -80.223588
    Oben rechts KachelX + 1 3712 KachelY 3651 2.55254403 -1.40016574 146.250000 -80.223588
    Unten links KachelX 3711 KachelY + 1 3652 2.55101005 -1.40042602 146.162109 -80.238500
    Unten rechts KachelX + 1 3712 KachelY + 1 3652 2.55254403 -1.40042602 146.250000 -80.238500
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.40016574--1.40042602) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dl = 1658.24388000001m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.40016574--1.40042602) × R
    0.000260280000000002 × 6371000     		dr = 1658.24388000001m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(2.55101005-2.55254403) × cos(-1.40016574) × R
    0.00153398000000005 × 0.169803812128263 × 6371000     		do = 1659.49037716241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(2.55101005-2.55254403) × cos(-1.40042602) × R
    0.00153398000000005 × 0.169547306195044 × 6371000     		du = 1656.98354811936m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.40016574)-sin(-1.40042602))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169803812128263-0.169547306195044)×R²
    abs(2.55254403-2.55101005)×0.000256505933219353×R²
    0.00153398000000005×0.000256505933219353×6371000²
    0.00153398000000005×0.000256505933219353×40589641000000     		ar = 2749761.31041455m²